山东省济南市市中区2022-2023学年七年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-06-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各式运算正确的是（）

A、 $a^{5} \cdot a^{2} = a^{15}$ B、 $(a^{5})^{5} = a^{10}$ C、 $(a b^{2})^{3} = a b^{6}$ D、 $a^{8} \div a^{7} = a$

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2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有 $0.00000009$ 克，用科学记数法表示此数正确的是（）

A、 $9.0 \times 1 0^{- 8}$ B、 $9.0 \times 1 0^{- 9}$ C、 $9.0 \times 1 0^{8}$ D、 $0.9 \times 1 0^{9}$

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3. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是

A、 B、 C、 D、

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4. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度（

h

）与下滑的时间（

t

）的关系如下表：

支撑物高 $h$ （ $c m$ ）	10	20	30	40	50	…
下滑时间 $t$ （ $s$ ）	3.25	3.01	2.81	2.66	2.56	…

以下结论错误的是（）

A、当

h = 40

时，

t

约2.66秒 B、随支撑物高度增加，下滑时间越来越短 C、支撑物高度每增加了

10 c m

，时间就会减少0.24秒 D、估计当

h = 80 c m

时，

t

一定小于2.56秒

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5. 一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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6. 下列给出的线段长度不能与4 $c m$ ， 3 $c m$ 能构成三角形的是（）

A、4 $c m$ B、3 $c m$ C、2 $c m$ D、1 $c m$

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7. 如图，用三角板作 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 下列命题中，真命题有（）
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③三角形的三条高线所在直线交于一点；④如果 $x^{2} > 0$ ，那么 $x > 0$ ；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，已知直线l₁∥l₂ ，直线l与l₁ ， l₂分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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10. 如图，长为 $y (c m)$ ，宽为 $x (c m)$ 的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $5 c m$ ，下列说法中正确的是（　　）

①小长方形的较长边为 $y - 15$ ；

②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 $x - y + 5$ ；

③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；

④当 $x = 15$ 时，阴影A和阴影B的面积和为定值．

A、①③ B、②④ C、①③④ D、①④

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二、填空题

11. 若 $3^{x} = 5$ ， $3^{y} = 4$ ，则 $3^{x - y} =$ ．

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12. 如果a²+（k-1）ab+9b²是一个完全平方式，那么k= ．

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13. 一个角比它的补角的 $\frac{1}{3}$ 少40°，这个角等于．

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14. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点 $O$ 照射到抛物线上的光线 $O B$ ， $O C$ 等反射以后沿着与 $P O Q$ 平行的方向射出．图中如果 $∠ B O P = 45 °$ ， $∠ Q O C = 68 °$ ，则 $∠ A B O =$ ， $∠ D C O =$ ．

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15. 如图甲所示三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到 $A B$ 边上的E点处，折痕为 $B D$ (如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为 $E F$ (如图丙)，则 $∠ A B C$ 的大小为°．

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16. 已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm²）与时间t（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB＝6cm，a= ，当t＝时，△ABP的面积是18cm² ．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $| - 3 | + (- 1)^{2021} \times (π - 3)^{0} - (- \frac{1}{2})^{- 3}$ ；

(2)、 $(2 x)^{3} \cdot (- 5 x y^{2}) \div (- 2 x^{2} y)^{2}$ ．

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18.

(1)、 ${(x + 4)}^{2} - (x + 2) (x - 5)$

(2)、先化简，再求值： $[{(3 a + b)}^{2} - (b + 3 a) (3 a - b) - 6 b^{2}] \div (- 2 b)$ ，其中 $a = - \frac{1}{3}$ ， $b = - 2$ ．

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19. 完成下面的推理过程．
已知：如图， $∠ B A C$ 与 $∠ G C A$ 互补， $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $∠ E = ∠ F$ ．



证明：∵ $∠ B A C$ 与 $∠ G C A$ 互补，即       ▲  ，

∴ $A B$ // $D G$ （）．

∴ $∠ B A C = ∠ A C D$ （）．

又∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ， (已知)．

∴ $∠ B A C - ∠ 1 = ∠ A C D - ∠ 2$ ，即 $∠ E A C = ∠ F C A$ ．（）．

∴       ▲ //       ▲ （）．

∴ $∠ E = ∠ F$ ．（）．

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20. 如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．

(1)、若△ABC的面积为80，BD＝10，求AF的长；

(2)、若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．

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21. 某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：

(1)、图中的自变量是，因变量是；

(2)、无人机在75米高的上空停留的时间是分钟；

(3)、在上升或下降过程中，无人机的速度为米/分；

(4)、图中a表示的数是；b表示的数是；

(5)、图中点A表示．

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22. “五一”假期，小明一家将随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人时，超过部分每人20元．

(1)、写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；

(2)、若小明一家所在的旅游团购门票花了1250元，则该旅游团共有多少人．

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23. 阅读下列材料，完成相应的任务：

三角形数

古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如： $1 + 3 = 4$ ； $3 + 6 = 9$ ； $6 + 10 = 16$ ；…

(1)、第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为；

(2)、第n个“三角形数”与第

(n + 1)

个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：+= ，请补全等式并说明它的正确性．

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24. 有两个正方形A，B，边长分别为 $a$ ， b（a＞b）．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．

(1)、用 $a$ ， b表示图甲阴影部分面积：；用 $a$ ， b表示图乙阴影部分面积：．

(2)、若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为．

(3)、在（2）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．

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25. 以直线 $A B$ 上一点O为端点作射线 $O C$ ，使 $∠ B O C = 40 °$ ，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即 $∠ D O E = 90 °$ ．

(1)、如图1，若直角三角板 $D O E$ 的一边 $O E$ 放在射线 $O A$ 上，则 $∠ C O D =$ ；

(2)、如图2，将直角三角板 $D O E$ 绕点O顺时针转动到某个位置，
①若 $O E$ 恰好平分 $∠ A O C$ ，则 $∠ C O D =$ ；

②若 $O D$ 在 $∠ B O C$ 内部，请直接写出 $∠ B O D$ 与 $∠ C O E$ 有怎样的数量关系；

(3)、将直角三角板 $D O E$ 绕点O顺时针转动( $O D$ 与 $O B$ 重合时为停止)的过程中，恰好有 $∠ C O D = \frac{1}{3} ∠ A O E$ ，求此时 $∠ B O D$ 的度数．

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26. 珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的， $P Q ∥ M N$ ，且 $∠ B A M = 2 ∠ B A N$ ，灯A射线从 $A M$ 开始顺时针旋转至 $A N$ 便立即回转，灯B射线从 $B P$ 开始顺时针旋转至 $B Q$ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．

(1)、填空： $∠ B A N =$ °；

(2)、若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达 $B Q$ 之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)、如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达 $A N$ 之前，若两灯发出的射线 $A C$ 与 $B C$ 交于点C，过C作 $∠ A C D$ 交PQ于点D，且 $∠ A C D = 120 °$ ，则在转动过程中，请探究 $∠ B A C$ 与 $∠ B C D$ 的数量关系，并说明理由．

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