四川省雅安市2022-2023学年高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-06-21 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 3}$ ， $N = {x | l o g_{2} x \leq 1}$ ，则集合 $M \cap N =$ （）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 0]$

查看试题解析
2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1 ， - 2)$ ，则 $z + \frac{2}{i}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + 4 i$ B、 $1 - 4 i$ C、 $4 + i$ D、 $4 - i$

查看试题解析

3. 利用独立性检验来考查两个分类变量

X

和

Y

是否有关系时，通过查阅下表来确定“

X

和

Y

有关系”的可信度.如果

k > 5.024

，那么就有把握认为“

X

和

Y

有关系”的百分比为（）

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

A、25% B、75% C、2.5% D、97.5%

查看试题解析

4. 日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 $I_{D} = I_{0} e^{- K D}$ 表示其总衰减规律，其中 $K$ 是平均消光系数（也称衰减系数）， $D$ （单位：米）是海水深度， $I_{D}$ （单位：坎德拉）和 $I_{0}$ （单位：坎德拉）分别表示在深度 $D$ 处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的 $30 %$ ，则该海区消光系数 $K$ 的值约为（）（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 3 \approx 1.1 ， l n 5 \approx 1.6$ ）

A、0.12 B、0.11 C、0.07 D、0.01

查看试题解析
5. 一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{19 π}{3}$ B、 $6 π$ C、 $\frac{20 π}{3}$ D、 $7 π$

查看试题解析
6. 智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点 $F_{2}$ 发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点 $F_{1}$ ．已知入射光线 $F_{2} P$ 斜率为 $- \sqrt{3}$ ，且 $F_{2} P$ 和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

查看试题解析
7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4}$ 和 $a_{12}$ 是方程 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的两根，则 $a_{8} =$ （）

A、3 B、5 C、-1 D、 $\pm 1$

查看试题解析
8. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c .$ 已知 $9 s i n^{2} B = 4 s i n^{2} A$ ， $c o s C = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{c}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

查看试题解析
9. 将函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 为奇函数，则ω的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

查看试题解析
10. 某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
11. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中 $\frac{D H}{D A} = \frac{2}{3}$ ，则在图1中 $\frac{E F}{E G} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{4}{81}$ C、 $\frac{4}{27}$ D、 $\frac{8}{27}$

查看试题解析
12. 已知 $a = \frac{100}{99} ， b = e^{0.01} ， c = 1 + \frac{1}{2} t a n \frac{1}{49}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

查看试题解析

二、填空题

13. 在 $(x - 3) (x + 1)^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

查看试题解析
14. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 3 ， | \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

查看试题解析
15. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{x} ， \\ l o g_{16} x ， \end{array}$ $\begin{array}{l} 0 \leq x < 2 \\ x \geq 2 \end{array}$ ，若关于x的方程 $[f (x)]^{2} + a f (x) + b = 0 (a ， b \in R)$ 有且仅有7个不同实数根，则 $a + b =$ .

查看试题解析
16. 比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为 $16$ ，底面半径为 $3$ 的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为.

查看试题解析

三、解答题

17. 成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区 $．$ 某景区为了提升服务品质，对过去 $100$ 天每天的游客数进行了统计分析，发现这 $100$ 天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：

为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了 $5$ 天，统计出这 $5$ 天的游客数 $($ 千人 $)$ 分别为 $0.8$ 、 $3.7$ 、 $5.1$ 、 $5.6$ 、 $6.8$ ，已知这 $5$ 天的最高气温 $(℃)$ 依次为 $8$ 、 $18$ 、 $22$ 、 $24$ 、 $28$ ．

参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是 $\overset{\hat{}}{y} = \overset{\hat{}}{b} x + \overset{\hat{}}{a}$ ；其中： $\overset{\hat{}}{b} = \frac{\sum^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\hat{}}{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ．

本题参考数据： $\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 70$ ， $\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 232$ ．

(1)、根据以上数据，求游客数 $y$ 关于当天最高气温 $x$ 的线性回归方程 $($ 系数保留一位小数 $)$ ；

(2)、根据（1）中的回归方程，估计该景区这 $100$ 天中最高气温在 $20 ℃ ～ 26 ℃$ 内的天数 $($ 保留整数 $)$

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 2$ ， ____.请在① $a_{5} + a_{8} = 26$ ；② $a_{1} ， a_{3} ， a_{9}$ 成等比数列；③ $S_{20} = 420$ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{{a_{n}}^{2}}{4}$ ，记数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 2$ ．

查看试题解析
19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面ABEF， $A D / / B C ， A F / / B E ， A D ⊥ A B ， A B ⊥ A F ， A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ ．

(1)、已知点G为AF上一点，且AG=1，求证： $B G / /$ 平面DCE；

(2)、已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2} ， A_{1} ， A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右顶点，过焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、当直线 $m$ 过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 以及上顶点 $P$ 时，直线 $m$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $Q$ ，求此时的弦长 $| P Q |$ .

(3)、设直线 $l$ 过点 $A_{1}$ ，且与 $x$ 轴垂直， $M ， N$ 为直线 $l$ 上关于 $x$ 轴对称的两点，直线 $A_{2} M$ 与椭圆 $C$ 相交于异于 $A_{2}$ 的点 $D$ ，直线 $D N$ 与 $x$ 轴的交点为 $E$ ，当 $△ M A_{2} N$ 与 $△ M E N$ 的面积之差取得最大值时，求直线 $A_{2} M$ 的方程.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a x e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、若 $a > 0$ 时，方程 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} x^{2}$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2 - x_{1} - x_{2}}$ ．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = m$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于相异两点A，B，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求m的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x - 2 |$ ， $g (x) = | 2 x - 1 |$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若a>0，b>0，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，不等式 $4 f (x) \leq \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{2 b^{2}}$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围．

查看试题解析