北京市房山区2022-2023学年高三数学第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | x \geq 2}$ ．则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | 0 < x \leq 2}$ C、 ${x | 2 \leq x < 3}$ D、 ${x | x \geq 2}$

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一个焦点坐标为（）

A、 $(\sqrt{2} ， 0)$ B、 $(0 ， \sqrt{2})$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(0 ， 2)$

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3. 设 $a = \sqrt[3]{3}$ ， $b = 0 . 9^{0.8}$ ， $c = l o g_{0.9} 0.8$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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4. 角 $α$ 以 $O x$ 为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为 $\frac{4}{5}$ ，则 $t a n α$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，则“ $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等比数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | l o g_{3} x < 1}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）．

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${0}$ D、 ${1 ， 2}$

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7. 已知圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，直线l过点 $(1 ， 3)$ 且倾斜角为 $α$ ，则“直线l与圆C相切”是“ $α = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 向量“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线”是“| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ | < | $\vec{a}$ |+| $\vec{b}$ |”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{2} + a_{5} = 4$ ，则 $S_{9}$ 等于（）

A、27 B、24 C、21 D、18

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10. 下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

	生鲜区	熟食区	乳制品区	日用品区	其它区
营业收入占比	$48.6 %$	$15.8 %$	$20.1 %$	$10.8 %$	$4.7 %$
净利润占比	$65.8 %$	$- 4.3 %$	$16.5 %$	$20.2 %$	$1.8 %$

该生活超市本季度的总营业利润率为 $32.5 %$ （营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：

①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；

②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；

③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；

④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 $40 %$ .

其中正确结论的序号是（）

A、①③ B、②④ C、②③ D、②③④

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二、填空题

11. 已知抛物线C： $x^{2} = 8 y$ ，则抛物线C的准线方程为．

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12. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq a ， \\ x^{3} ， x > a . \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上不是增函数，则a的一个取值为.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{l n | x |}{x}$ ，给出下列四个结论：
①函数 $f (x)$ 是奇函数； ②函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 和 $(0 ， + \infty)$ 上都单调；

③当 $x > 0$ 时，函数 $f (x) > 0$ 恒成立； ④当 $x < 0$ 时，函数 $f (x)$ 有一个零点.

其中所有正确结论的序号是 .

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1} ： x + m y = 0$ 与直线 $l_{2} ： m x - y - 3 m + 1 = 0$ 相交于点P，直线 $l_{2}$ 过定点A，点A的坐标为， $| P O | | P A |$ 的最大值为

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三、解答题

16. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{4}$ ， $A B = 3 \sqrt{6}$ ， $A C = 6$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边的延长线上，且 $C D = 10$ .

(1)、求 $∠ A C B$ ；

(2)、求 $△ A C D$ 的周长.

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17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B E ⊥ A B_{1}$ 交 $A A_{1}$ 于点E，D为 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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18. 北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：

(1)、从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 $[50 ， 60)$ 的概率；

(2)、从参加体育实践活动时间在 $[80 ， 90)$ 和 $[90 ， 100)$ 的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

(3)、假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为 $μ_{0}$ ，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为 $μ_{1} ， μ_{2}$ ，当m满足什么条件时， $μ_{0} \geq \frac{μ_{1} + μ_{2}}{2}$ .（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x - 1 (a \in R)$ ，

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 时取得极小值，求 $a$ 的值；

(3)、若存在实数 $m$ ，使对任意的 $x \in (0 ， m)$ ，都有 $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．

(1)、求椭圆G的标准方程；

(2)、是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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21. 已知数集 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}} (1 = a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n} ， n \geq 2)$ 具有性质P：对任意的 $k (2 \leq k \leq n) ， \exists i ， j (1 \leq i \leq j \leq n)$ ，使得 $a_{k} = a_{i} + a_{j}$ 成立.

(1)、分别判断数集 ${1 ， 3 ， 5}$ 与 ${1 ， 2 ， 3 ， 6}$ 是否具有性质P，并说明理由；

(2)、已知 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证： $2 a_{n} - 1 \leq S_{n}$ ；

(3)、若 $a_{n} = 36$ ，求数集A中所有元素的和的最小值.

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