上海市重点大学附中2023届高三年级数学毕业考试试卷

试卷更新日期：2023-06-21 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x ， x^{2} + 1 ， - 1}$ 中的最大元素为2，则实数 $x =$ .

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2. 函数 $y = 2 c o s x$ 的严格减区间为.

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3. 若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (1) =$ .

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4. 若某圆锥高为3 ，其侧面积与底面积之比为 $2 ： 1$ ，则该圆锥的体积为.

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5. 已知样本数据 2、4、8、 $m$ 的极差为 10 ，其中 $m > 0$ ，则该组数据的方差为.

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6. 在财务审计中，我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中，首位非零的数字是 $1 ~ 9$ 这九个事件不是等可能的. 具体来说，随机变量 $X$ 是一组没有人为编造的首位非零数字，
则 $P (X = k) = l g \frac{k + 1}{k} ， k = 1 ， 2 ， \dots ， 9$ . 则根据本 • 福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).

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7. 若 $(1 - 2 x)^{2023} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{2023} x^{2023}$ ，则 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{2023}}{2^{2023}} =$ .

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8. 若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线也不垂直，且 $\vec{c} = \vec{a} - (\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}) \vec{b}$ ，则向量夹角 $〈 \vec{a} ， \vec{c} 〉 =$ .

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9. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点是 $A$ ，其共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点是 $B ， O$ 是坐标原点，若 $A$ 在第一象限，且 $O A ⊥ O B$ ，则 $\frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}} =$ .

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10. 已知双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2} ， Γ$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 在第一象限的交点为 $M$ ，线段 $M F_{2}$ 与 $Γ$ 交于点 $N ， O$ 为坐标原点. 若 $M F_{1} / / O N$ ，则 $Γ$ 的离心率为.

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11. 若项数为10的数列 ${a_{n}}$ ，满足 $1 \leq | a_{i + 1} - a_{i} | \leq 2 (i = 1 ， 2 ， \dots ， 9)$ ，且 $a_{1} = a_{10} \in [- 1 ， 0]$ ，则数列 ${a_{n}}$ 中最大项的最大值为.

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12. 若实数 $a$ 使得存在两两不同的实数 $x 、 y 、 z$ ，有 $\frac{x^{3} + a}{y + z} = \frac{y^{3} + a}{z + x} = \frac{z^{3} + a}{x + y} = - 3$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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二、选择题

13. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?"，该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为（）

A、110 B、120 C、130 D、140

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14. “ $(l o g_{a} 2) x^{2} + (l o g_{b} 2) y^{2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆” 的一个充分非必要条件是（）

A、 $0 < a < b$ B、 $1 < a < b$ C、 $2 < a < b$ D、 $1 < b < a$

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15. 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下列四组量中，一定能成为该长方体的 “基本量” 的是（）

A、 $A B_{1}$ 、 $A C$ 、 $A D_{1}$ 的长度 B、 $A C$ 、 $B_{1} D$ 、 $A_{1} C$ 的长度 C、 $B_{1} C$ 、 $A_{1} D$ 、 $B_{1} D$ 的长度 D、 $A C_{1}$ 、 $B D$ 、 $C C_{1}$ 的长度

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16. 设关于 $x$ 、 $y$ 的表达式 $F (x ， y) = c o s^{2} x + c o s^{2} y - c o s (x y)$ ，当 $x$ 、 $y$ 取遍所有实数时， $F (x ， y)$ （）

A、既有最大值，也有最小值 B、有最大值，无最小值 C、无最大值，有最小值 D、既无最大值，也无最小值

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在以原点 $O$ 为圆心半径等1的圆上，将射线 $O A$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $α$ 后交该圆于点 $B$ ，设点 $B$ 的横坐标为 $f (α)$ ，纵坐标 $g (α)$ .

(1)、如果 $s i n α = m$ ， $0 < m < 1$ ，求 $f (α) + g (α)$ 的值（用 $m$ 表示）；

(2)、如果 $\frac{f (α)}{g (α)} = 2$ ，求 $f (α) \cdot g (α)$ 的值.

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18. 如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．

(1)、求证：平面AMB//平面DNC；

(2)、若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．

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19. 某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费

x_{i}

和年销售量

y_{i}

（

i = 1

，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{μ}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(μ_{i} - \bar{μ})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{6} (μ_{i} - \bar{μ}) (y_{i} - \bar{y})$
12.5	222	3.5	157.5	16800	4.5	1254	270

表中 $μ_{i} = l n x_{i}$ ， $\bar{μ} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} μ_{i}$ .

(1)、根据散点图判断

\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x

与

\hat{y} = \hat{c} + \hat{d} l n x

哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)、已知这种产品的年利润

z = 0.5 y - x

，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据

(w_{1} ， v_{1})

，

(w_{2} ， v_{2})

，…，

(w_{n} ， v_{n})

，其回归直线

\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} w

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (w_{i} - \bar{w}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}}

，

\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{w}

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20. 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．
如图所示，抛物线 $Γ ： x^{2} = 2 p y$ ，其中 $p > 0$ 为一给定的实数.．

(1)、写出抛物线 $Γ$ 的焦点坐标及准线方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 2 p k + 2 p$ 与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；

(3)、如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，
证明： $\frac{| A D |}{| D E |} = \frac{| E F |}{| F C |} = \frac{| D B |}{| B F |}$ ．

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21. 设 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，如果对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2}) ， | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < | x_{1} - x_{2} |$ 均成立，则称 $y = f (x)$ 是“平缓函数”.

(1)、若 $f_{1} (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} ， f_{2} (x) = s i n x$ ，试判断 $y = f_{1} (x)$ 和 $y = f_{2} (x)$ 是否为“平缓函数” ?
并说明理由； (参考公式： $x > 0$ 时， $s i n x < x$ 恒成立)

(2)、若函数 $y = f (x)$ 是“平缓函数”，且 $y = f (x)$ 是以 1为周期的周期函数，
证明：对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in R$ ，均有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < \frac{1}{2}$ ；

(3)、设 $y = g (x)$ 为定义在 $R$ 上函数，且存在正常数 $A > 1$ 使得函数 $y = A \cdot g (x)$ 为“平缓函数”.
现定义数列 ${x_{n}}$ 满足： $x_{1} = 0 ， x_{n} = g (x_{n - 1}) (n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots)$ ，

试证明：对任意的正整数 $n ， g (x_{n}) \leq \frac{A | g (0) |}{A - 1}$ .

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