山东省潍坊市2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-06-21 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列计算结果正确的是（）

A、 $7 a - 5 a = 2$ B、 $9 a \div 3 a = 3 a$ C、 $a^{5} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(3 a^{2})}^{3} = 9 a^{6}$

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2. 星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度. 1纳秒 $= 1 \times 1 0^{- 9}$ 秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（）

A、 $2 \times 1 0^{- 8}$ 秒 B、 $2 \times 1 0^{- 9}$ 秒 C、 $20 \times 1 0^{- 9}$ 秒 D、 $2 \times 1 0^{- 10}$ 秒

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3. 如图1是由6个相同的小正方块组成的几何体，移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体（　　）

A、主视图改变，俯视图改变 B、主视图不变，俯视图改变 C、主视图不变，俯视图不变 D、主视图改变，俯视图不变

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4. 把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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5. 如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图2是该台灯的电流 $I (A)$ 与电阻 $R (Ω)$ 成反比例函数的图象，该图象经过点 $P (880 ， 0.25)$ .根据图象可知，下列说法正确的是（）

A、当 $R < 0.25$ 时， $I < 880$ B、I与R的函数关系式是 $I = \frac{200}{R} (R > 0)$ C、当 $R > 1000$ 时， $I > 0.22$ D、当 $880 < R < 1000$ 时，I的取值范围是 $0.22 < I < 0.25$

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6. 某函数的图象如图所示，当 $0 \leq x \leq a$ 时，在该函数图象上可找到 $n$ 个不同的点 $(x_{^{1}} ， y_{^{1}})$ ， $(x_{^{2}} ， y_{^{2}})$ ， ……， $(x_{n} ， y_{^{n}})$ ，使得 $\frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} = ⋯ = \frac{y_{n}}{x_{n}}$ ，则 $n$ 的取值不可能为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

7. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足 $- a < b < a$ ，则b的值可以是（　　）

A、2 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、1

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三、单选题

8. 疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法正确的是（　　）
体温 $° C$
$36.1$
$36.2$
$36.3$
$36.4$
$36.5$
$36.6$
人数/人
4
8
8
10
m
2

A、这个班有40名学生 B、 $m = 8$ C、这些体温的众数是8 D、这些体温的中位数是36.35

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a b c > 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、 $3 b < 2 c$ D、 $b > a + c$

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四、多选题

10. 如图，在正方形纸片 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，折叠正方形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 落在 $B D$ 上，点 $A$ 恰好与 $B D$ 上的点 $F$ 重合，展开后，折痕 $D E$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $G$ ，连接 $G F$ ，下列结论正确的是（　　）．

A、 $∠ A G D = 112.5 °$ B、 $t a n ∠ A E D = \sqrt{2} + 1$ C、 $S_{△ A G D} = 2 S_{△ O G D}$ D、四边形 $A E F G$ 是菱形

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五、填空题

11. 分解因式： $a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} =$ ．

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12. 疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是.

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13. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为一个正多边形的顶点， $O$ 为正多边形的中心，若 $∠ A D B = 18 °$ ，则这个正多边形的边数为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 ， B C = 6$ ，延长 $A B$ 至 $D$ ，使得 $B D = \frac{1}{2} A B$ ，点 $P$ 为动点，且 $P B = P C$ ，连接 $P D$ ，则 $P D$ 的最小值为．

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六、解答题

15.

(1)、计算： $(1 - \frac{2}{a + 2}) \div \frac{a}{a^{2} - 4}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{2 x + 1}{3} + x \leq 2 \\ 4 x - 1 < 3 (x + 1) \end{array}$

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16. 如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边 $A B$ 和 $∠ B$ 还保留着．

(1)、小明要在练习册上画出原来的等腰 $△ A B C$ ，用到的基本作图可以是（填写正确答案的序号）；
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；

(2)、 $C E$ 为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的中线，若 $∠ B$ 的一个外角为 $110 °$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

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17. 为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：

(1)、求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图．

(2)、若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数．

(3)、兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率．

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18. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线 $A B$ 射到水池的水面B点后折射光线 $B D$ 射到池底点D处，入射角 $∠ A B M = 30 °$ ，折射角 $∠ D B N = 22 °$ ；入射光线 $A C$ 射到水池的水面C点后折射光线 $C E$ 射到池底点E处，入射角 $∠ A C M^{'} = 60 °$ ，折射角 $∠ E C N^{'} = 40.5 °$ ． $D E ∥ B C$ ， $M N$ 、 $M^{'} N^{'}$ 为法线．入射光线 $A B$ 、 $A C$ 和折射光线 $B D$ 、 $C E$ 及法线 $M N$ 、 $M^{'} N^{'}$ 都在同一平面内，点A到直线 $B C$ 的距离为6米．

(1)、求 $B C$ 的长；（结果保留根号）

(2)、如果 $D E = 8.72$ 米，求水池的深．（参考数据： $\sqrt{2}$ 取1.41， $\sqrt{3}$ 取1.73， $s i n 22 °$ 取0.37， $c o s 22 °$ 取0.93， $t a n 22 °$ 取0.4， $s i n 40.5 °$ 取0.65， $c o s 40.5 °$ 取0.76， $t a n 40.5 °$ 取0.85）

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19. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：

在 $y = a | x - 1 | + b$ 中，下表是y与x的几组对应值．

$x$	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	7	$m$	3	1	$n$	1	3	…

(1)、

m =

，

n =

；

(2)、平面直角坐标系中，画出函数的图象；

(3)、根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打√，错误的打×．

①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线 $x = 1$ ．（）

②当 $x < 1$ 时，y随x的增大而增大，当 $x ≥ 1$ 时，y随x的增大而减小．（）

③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当 $x = 1$ 时有最小值 $- 1$ ．（）

(4)、若方程组

{\begin{array}{l} y = 2 x + t \\ y = a | x - 1 | + b \end{array}

有且只有一个公共解，则t的取值范围是．

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20. 振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形 $A B C D$ 墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形 $E F G H$ ，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料
甲
乙
单价（元/米 $^{2}$ ）
800
600
设矩形的较短边 $A M$ 的长为x米，装修材料的总费用为y元．

(1)、求y与x之间的关系式；

(2)、当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．

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21. 【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①， $∠ A P B$ 是点P对线段 $A B$ 的视角．

(1)、【应用】
如图②，在直角坐标系中，已知点 $A (2 ， \sqrt{3})$ ， $B (2 ， 2 \sqrt{3})$ ， $C (3 ， \sqrt{3})$ ，则原点O对三角形 $A B C$ 的视角为；

(2)、如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆 $O_{1}$ ，以原点O，半径为4画圆 $O_{2}$ ，证明：圆 $O_{2}$ 上任意一点P对圆 $O_{1}$ 的视角是定值；

(3)、【拓展应用】
很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为 $45 °$ 的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为 $x = - 5$ ，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．

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22. 如图1，将一个等腰直角三角尺 $A B C$ 的顶点C放置在直线l上， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ， $A B = B C$ ，过点A作 $A D ⊥ l$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ l$ 于点E．

(1)、观察发现：
如图1，当A，B两点均在直线l的上方时
①猜测线段 $A D ， C E$ 与 $B E$ 的数量关系并说理由；
②直接写出线段 $D C ， A D$ 与 $B E$ 的数量关系；

(2)、操作证明：
将等腰直角三角尺 $A B C$ 绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段 $D C ， A D$ 与 $B E$ 又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；

(3)、拓广探索：
将等腰直角三角尺 $A B C$ 绕着点C继续旋转至图3位置时， $A D$ 与 $B C$ 交于点H，若 $C D = 3$ ， $A D = 9$ ，请直接写出 $D H$ 的长度．

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体温 $° C$	$36.1$	$36.2$	$36.3$	$36.4$	$36.5$	$36.6$
人数/人	4	8	8	10	m	2

材料	甲	乙
单价（元/米 $^{2}$ ）	800	600