山西省吕梁市孝义市2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-06-21 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 2$ 的相反数是（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列运算正确的是（　　）

A、 $2 a^{2} \cdot a^{3} = 2 a^{6}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 ${(- a^{2} b^{3})}^{2} = a^{4} b^{6}$

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3. 近日，某校组织“自然资源文化创意大赛”，旨在宣传“新时代、美自然、好生活”，大赛分为“平面类”、“视觉类”、“实物类”三个竞赛单元，各单元按成绩由高到低，分别设立金奖5名、银奖10名、铜奖15名、优秀奖30名．甲同学参加了“视觉类”竞赛，并且竞赛成绩进入了前30名，该同学想知道自己能否至少获得银奖，需比较自己的成绩与前30名同学成绩的（　　）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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4. 如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“祝”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A、考 B、试 C、成 D、功

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5. 某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台 $m$ 元，商店将进价提高30%后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为（　　）

A、 $m$ 元 B、 $1.3 m$ 元 C、 $1.04 m$ 元 D、 $0.8 m$ 元

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，连接 $O E$ ，若 $△ A B C$ 的周长是10，则 $△ A O E$ 的周长为（　　）

A、3 B、5 C、6 D、7

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7. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 是 $A B$ 上一点，点 $F$ 是 $B C$ 上一点，将矩形沿 $E F$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $G$ 正好落在 $A D$ 的中点处，则 $A E$ 的长为（　　）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、3

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 正好在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 4)$ ，则 $k$ 的值为（　　）

A、12 B、16 C、24 D、32

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9. 如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径， $C D$ 垂直平分半径 $O A$ ， $E F$ 垂直平分半径 $O B$ ，若 $A B = 4$ ，则图中阴影部分的面积等于（　　）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线分别与 $C D$ 的延长线交于点 $E$ ，与 $C B$ 的延长线交于点 $F$ ．若 $B D = 4$ ， $A E = 3$ ，则 $A F$ 的长度为（　　）

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、5 D、 $\frac{25}{3}$

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二、填空题

11. 化简 $\frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}$ 的结果是．

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x > 1 \\ x + 1 > 3 x - 5 \end{array}$ 的解集是．

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13. 现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好都是奇数的概率是．

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14. 如图所示是地球截面图，其中 $A B$ ， $E F$ 分别表示南回归线和北回归线， $C D$ 表示赤道，点 $P$ 表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬 $23 ° 2 6^{'} (∠ B O D = 23 ° 2 6^{'})$ ，太原市的纬度是北纬 $37 ° 3 2^{'} (∠ P O D = 37 ° 3 2^{'})$ ，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线 $M B$ 的延长线经过地心 $O$ ），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线 $P Q$ 的夹角 $α$ 的度数是．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $D E$ 绕点 $E$ 顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，分别连接 $C F$ ， $A F$ ，且 $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，若 $C F = 6$ ，则 $D M$ 的长度为．

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三、解答题

16.

(1)、 ${(- 2)}^{2} \times 2^{- 1} + (- 6 + 3) + | - 3 |$

(2)、解方程： $\frac{15}{x} = \frac{24}{x + 3}$

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17. 已知：如图，点 $C$ ， $F$ 在线段 $A D$ 上， $A F = C D$ ， $A B ∥ D E$ ， $∠ B = ∠ E$ ．求证： $B C = E F$ ．

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18. “谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜（如左图），能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果.2022年某农科所种植谷子50亩进行新旧技术对比试验，共收获谷子22000千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均亩产量比采用传统技术种植的谷子多25%．现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为400千克．

(1)、求该农科所采用“传统技术”和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？

(2)、该农科所将收获的谷子加工成小米后，一部分采用“线上直播带货”的方式进行销售，销售价格为8元/千克，其余部分在实体店进行售卖，售卖价格为10元/千克．已知每1千克谷子能加工成0.8千克的小米，则该农科所要想销售完这批小米后，销售额不低于156000元，求该农科所最多将多少千克的小米以“线上直播带货”的方式进行销售？

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19. 2023年5月18日-21日，第七届世界智能大会在天津市举行，本届大会的主题是“智行天下，能动未来”．大会举办期间，某初中计划组织全校学生参观本届大会智能科技展的5个主题展区，主题分别是“人工智能”、“5G+工业互联网”、“智能交通”、“智慧生活”、“数字健康”，为了解同学们的参展意向、学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查（调查问卷如下图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整）．

“第七届世界智能大会”智能科技展

参观意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参观意向的选项，在其后“[ ]”内打“√”（只能选择其中的一项），非常感谢您的合作．

A．人工智能[ ]

B.5G+工业互联网[ ]

C．智能交通[ ]

D．智慧生活[ ]

E数字健康[ ]

请根据上面的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查所抽取的学生人数有人，所调查的学生中选择“C．智能交通”的学生人数占调查总人数的%．

(2)、请把条形统计图补充完整．

(3)、已知该初中总人数为1200人，小明根据调查结果，估计全校参观意向为“人工智能”的学生人数约为：

1200 \times 25 % = 300

人．你认为小明估计的结果是否合理？请说明理由．

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20. 山西博物院是我省综合性博物馆之一，其主馆造型如斗似鼎，四翼舒展，诠释了“如鸟斯革，如翚斯飞”的审美取向．某校“综合实践”小组在项目化学习中，对主馆进行了实地测量，图2是测量示意图．他们在地面上的 $A$ 点测得主馆顶部 $C$ 的仰角为 $37 °$ ，在台阶顶部 $B$ 处测得主馆顶部 $C$ 的仰角为 $53 °$ ，经过对每个台阶的高度与宽度进行测量，确定台阶顶部 $B$ 到地面的高度为12米，台阶底部 $A$ 与顶部 $B$ 之间的水平距离为30米．现已知台阶顶部平台 $B P$ 与地面 $A E$ 平行．请根据以上数据，求出主馆顶部 $C$ 到地面的垂直高度是多少米？（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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21. 阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：
怎样作直角三角形的内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么，怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：

如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，作 $∠ A C B$ 的角平分线，交斜边 $A B$ 于点 $D$ ；然后过点 $D$ ，分别作 $A C$ ， $B C$ 的垂线，垂足分别为 $F$ ， $E$ ，则 $D F = D E$ ．（依据1）

容易证明四边形 $D F C E$ 是正方形．

用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．

如图2，如果 $R t △ A B C$ 的内接正方形的一边恰好在斜边 $A B$ 上，我就可用如下方法，

第一步：过直角顶点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ；

第二步，延长 $A B$ 到 $M$ ，使得 $B M = A D$ ，连接 $C M$ ；

第三步：作 $∠ B D C$ 的平分线，交 $M C$ 于点 $E$ ；

第四步：过点 $E$ 分别作 $D C$ ， $D B$ 的垂线，垂足分别为 $P$ ， $K$ ， $E P$ 交 $B C$ 于点 $F$ ， $E P$ 的延长线交 $A C$ 交于 $G$ ；

第五步：分别过点 $F$ ， $G$ 作 $A B$ 的垂线，垂足分别为 $N$ ， $H$ ．

则四边形 $N F G H$ 就是 $R t △ A B C$ 的内接正方形，并且 $N H$ 恰好在该直角三角形的斜边上．

理由如下：易证四边形 $E P D K$ 是正方形， $E G ∥ A M$ ．

∵ $E G ∥ A M$ ， ∴ $△ C G P ∽ △ C A D$ ， $△ C E F ∽ △ C M B$ ．（依据2）

∴ $\frac{G P}{A D} = \frac{C P}{C D}$ ； $\frac{E F}{B M} = \frac{C F}{C B} = \frac{C P}{C D}$

学习任务：

(1)、材料中画横线部分的依据分别是：
依据1：；依据2：．

(2)、请完成图2说理过程的剩余部分．

(3)、分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先做图形 $E P D K$ ，再将正方形 $E P D K$ 转化为正方形 $N F G H$ ，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是____．（填出字母代号即可）．

A、旋转 B、平移 C、轴对称

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22. 综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，分别以 $A D$ ， $C D$ 为边，在矩形 $A B C D$ 外侧作正方形 $A D E F$ 和 $C D M N$ （点 $B$ ， $A$ ， $F$ 在同一直线上，点 $B$ ， $C$ ， $N$ 在同一直线上）．连接 $F N$ ，取 $F N$ 的中点 $P$ ，连接 $B P$ ．

求证： $B P ⊥ F N$ ， $B P = \frac{1}{2} F N$ ．



解决问题：

(1)、请你解答老师提出的问题．

(2)、受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形 $A B C D$ 是平行四边形 $(∠ D A B \neq 90 °)$ ，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．


(3)、“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，分别以 $A D$ ， $C D$ 为边，在菱形外侧作正方形 $A D E F$ 和 $C D M N$ ．连接 $B D$ 并延长，交 $F N$ 于点 $P$ ．若 $∠ D A B = 30 °$ ， $F N = 6$ ，求 $B D$ 的长．请你思考该问题，并直接写出结果．


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23. 综合与探究：
如图，已知抛物线 $y = - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{9}{4} x + 6$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．

(1)、求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；

(2)、当 $△ C D B$ 是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；

(3)、直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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