天津市和平区2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-06-21 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算（－3）－9的结果等于（）

A、6 B、－6 C、12 D、－12

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2. $2 s i n 4 5^{∘}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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3. “全民行动，共同节约”，我国14亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约1 400 000 000度电，这个数用科学记数法表示，正确的是（）

A、1.40×10⁸ B、1.4×10⁹ C、0.14×10¹⁰ D、1.4×10¹⁰

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4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{51}$ 的值在（）

A、5和6之间 B、6和7之间 C、7和8之间 D、8和9之间

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7. 化简 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}$ 的结果是（）

A、 $x$ +1 B、 $x - 1$ C、 $- x$ D、 $x$

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8. 若点 $A (x_{1} ， 2)$ ， $B (x_{2} ， - 1)$ ， $C (x_{3} ， 4)$ 都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ D、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$

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9. 《孙子算经》中有一道题： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 $1$ 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 $x$ 尺，绳子长 $y$ 尺，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ x - \frac{y}{2} = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ y - \frac{x}{2} = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ y - \frac{x}{2} = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ x - \frac{y}{2} = 1 \end{array}$

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10. 如图，矩形 $A O C D$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ ， $A (0 ， 4)$ ，顶点C在x轴的正半轴上.作如下操作：①对折矩形 $A O C D$ ，使得 $A D$ 与 $O C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在 $E F$ 上，并使折痕经过点O，得折痕 $O M$ ，同时，得到了线段 $O N$ ．则点N的坐标是（）

A、 $(4 ， 2)$ B、 $(\sqrt{3} ， 2)$ C、 $(2 \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ D、 $(2 \sqrt{3} ， 2)$

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11. 如图，将 $△ A B C$ 沿射线 $B C$ 的方向平移，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，再将 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 绕点 $A^{'}$ 逆时针旋转一定角度后，得到 $△ A^{'} C D$ ，点 $B^{'}$ 的对应点为 $C$ ，点 $C^{'}$ 的对应点为点 $D$ ，则下列结论不一定正确的是（）

A、 $A^{'} D ∥ B C$ B、 $B B^{^{'}} = C C^{^{'}}$ C、 $∠ B^{'} A^{'} C = ∠ C^{'} A^{'} D$ D、 $C A^{'}$ 平分 $∠ B C D$

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12. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， $a ， b ， c$ 为常数且 $c > 0$ ）的对称轴为 $x = - 2$ ，过点 $(1 ， - 2)$ 和点 $(x_{0} ， y_{0})$ ．有下列结论：① $a < - \frac{2}{5}$ ；②对任意实数 $m$ ，都有 $a m^{2} + (m + 2) b \leq 4 a$ ；③若 $x_{0} > - 4$ ，则 $y_{0} > c$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 计算 $\frac{1}{3} a b \cdot {(- 6 a)}^{2}$ 的结果等于．

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14. 计算 ${(\sqrt{3} + 2)}^{2}$ 的结果等于．

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15. 不透明袋子中装有8个球，其中有5个红球、2个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是．

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16. 若一次函数 $y = k x + b (k \neq 0 ， k ， b 是常数)$ 的图象经过点（1，3），且y随着x的增大而增大，则一次函数的解析式为（写出一个即可）．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 6 0^{∘}$ ， $A C = 4$ ，点D是 $A B$ 中点，E是 $B C$ 边上一点，且 $B E = A C + C E$ ，则 $D E$ 的长等于．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点 $A$ 在格点上，点 $B$ 在格点上，圆心在线段 $A B$ 上，圆与网格线相交于点 $C$ ，过点 $C$ 作圆的切线与网格线交于点 $P$ ．

(1)、 $A B =$ ；

(2)、过点 $P$ 作圆的切线，切点为 $M$ （点 $M$ 不与点 $C$ 重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $M$ ，并简要说明点 $M$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 > 3 (x - 2) ① \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 6 - 3 x ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为．

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20. 九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取参与问卷的学生人数为，图①中m的值为；

(2)、求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数；

(3)、全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？

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21. 已知 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B$ 与 $⊙ O$ 相交于点D，过点D作 $⊙ O$ 的切线，交 $B C$ 于点E．

(1)、如图①，线段 $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B D E = 25 °$ ，求 $∠ C$ 的大小；

(2)、如图②， $A C$ 过圆心O，线段 $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点F，若 $∠ B D E = 15 °$ ，且 $A C = 6$ ，求圆的半径和 $B E$ 的长．

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22. 如图，某校数学兴趣小组要测量建筑物 $A B$ 的高度，测角仪 $C D$ 的高度为 $1.6$ 米．他们在点C测得楼顶A的仰角为 $30 °$ ，前行 $20$ 米到达F点，这时在点E处测得楼顶A的仰角为 $58 °$ ，求建筑物 $A B$ 的高度（结果保留整数）．参考数据： $t a n 5 8^{∘} \approx 1.60$ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．

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23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组根据《龟兔赛跑》的故事绘制了函数图象．

乌龟和兔子在笔直的公路上比赛，它们从同一地点同时出发后匀速向终点前进，兔子很快把乌龟远远甩在后头，骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是兔子加快速度追赶，最后还是输给了乌龟．图中的线段 $O D$ 和折线 $O A B C$ 分别表示乌龟和兔子的路程ym和时间x $m i n$ 之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填表：
比赛时间 $x / m i n$
5
10
35
52
60
兔子所走的路程 $y / m$
200
550

(2)、填空：
①赛跑中，兔子共睡了 $m i n$ ；
②乌龟追上兔子所用的时间为 $m i n$ ；
③兔子到达终点比乌龟晚了 $m i n$ ；
④在比赛过程中，龟和兔最多相距m．

(3)、当 $0 \leq x \leq 60$ 时，请直接写出兔子在赛跑过程y和x的函数解析式．

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24. 在平面直角坐标系中，O为原点， $△ O A B$ 是直角三角形， $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ A B O = 60 °$ ，点 $B (0 ， 4)$ ，射线 $B O$ 上有一个动点C，线段 $A B$ 上有一个动点D，沿直线 $C D$ 折叠 $△ O A B$ ，点B对应点为 $B^{'}$ ， $D B^{'} ⊥ x$ 轴．

(1)、如图①，若点 $B^{'}$ 落x轴上，求点C的坐标；

(2)、设 $B C = t$ ．
①如图②，折叠后的 $△ B^{'} C D$ 与 $△ O A B$ 重叠部分为四边形， $B^{'} D$ 和 $B^{'} C$ 分别与x轴交于P，Q两点，试用含t的式子表示 $P Q$ 的长，并直接写出t的取值范围；

②若 $△ B^{'} C D$ 与 $△ O A B$ 重叠部分的面积S，当 $2 \leq t \leq 5$ 时，求S的取值范围．（直接写出结果即可）

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， $a ， b ， c$ 是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ， A点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，
①求点P的坐标：
②将直线BC沿y轴向下平移 $n (n > 0)$ 个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围；

(2)、若 $a = \frac{3}{5 m}$ ， A点坐标为 $(m ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 3 m (m \neq 0)$ ，在平面内有一个动点Q，当m为何值时， $A Q + B Q + \sqrt{2} C Q$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ？

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比赛时间 $x / m i n$	5	10	35	52	60
兔子所走的路程 $y / m$		200			550