（人教版）吉林地区八年级升九年级2023年暑假衔接专题5 一元二次方程的根与系数的关系

试卷更新日期：2023-06-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程x²－7x＋c＋7＝0的两根，那么AB边上的中线长是（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、5 D、2

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2. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ 的两个根.则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值为（）

A、3 B、10 C、 $- 3$ D、 $- 10$

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3. 已知方程 $x^{2} + 2019 x - 3 = 0$ 的两根分别是 $α$ 和 $β$ ，则代数式 $α^{2} + α β + 2019 α$ 的值为（）

A、1 B、0 C、2019 D、-2019

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4. 若一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ 有两实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2} ，$ 下列选项正确的是（）

A、 $x_{1} = x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ C、 $x_{1} x_{2} = - 6$ D、 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = - 2$

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5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $3 x_{1} + 3 x_{2} - x_{1} x_{2} = 5$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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6. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 的两不相等的实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 17 = 0$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ 或-3 B、-3 C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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7. 若一个矩形的长和宽是关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - 8 x + m = 0$ 的两根，则该矩形的周长为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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8. 直角三角形两直角边是方程 $x^{2} - 8 x + 14 = 0$ 的两根，则它的斜边为（）

A、8 B、7 C、6 D、 $2 \sqrt{7}$

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9. 若x₁ ， x₂是一元二次方程x-2x-3=0的两个根，则x₁·x₂的值是（）

A、-2 B、-3 C、2 D、3

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10. 若m、n是关于x的方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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二、填空题

11. 已知 $m$ 、 $n$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $m^{2} + m n + 2 m$ 的值为.

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12. 设关于x的方程 $x^{2} - 2 x - m + 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $α$ ， $β$ ，若 $| α | + | β | = 6$ ，那么实数m的取值是．

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13. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两实根，则 $m - m n + n$ 的值为．

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14. 关于x的方程 $x^{2} - m x - 3 = 0$ 的一个根是 $x_{1} = 3$ ，则它的另一个根 $x_{2} =$ ．

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15. 若 $a$ ， $b$ 是方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两根，则 $a^{2} + a b - 2 b =$ .

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三、解答题

16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x - k = 0$ （ $k$ 为常数）．设 $α$ ， $β$ 为方程的两个实数根，且 $α + 2 β = 14$ ，试求出方程的两个实数根和 $k$ 的值．

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17. 已知一元二次方程x²+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，若x₁•x₂﹣（x₁+x₂）＝﹣3，求m的值．

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18. 已知关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + k x - 1 = 0$
①求证：方程有两个不相等的实数根．

②若方程的一个根是 $x = - 1 ，$ 求另一个根及 $k$ 的值．

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19. 关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，求m的取值范围；若x₁ ， x₂满足等式x₁x₂－x₁－x₂＋1＝0，求m的值．

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四、综合题

20. 已知关于x的方程 $x^{2} - 3 a x - 3 a - 6 = 0$ ，

(1)、求证：方程恒有两不等实根；

(2)、若x₁ ， x₂是该方程的两个实数根，且 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 1$ ，求a的值.

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21. 关于x的一元二次方程为mx²-（1+2m）x+m+1＝0（m≠0）．

(1)、求证：方程总有两个不等实数根；

(2)、若方程的两根为x₁、x₂ ，是否存在x₁²+x₂²＝x₁x₂？如果存在，请求m的值；如果不存在，请说明理由．

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22. 已知， $α ， β$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 - k = 0$ 的两个实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数k，使得等式 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = k + 3$ 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.

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23. 阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ .根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：已知实数a，b满足： $a^{2} - 7 a + 1 = 0$ ， $b^{2} - 7 b + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，则 $a + b =$ ， $a b =$ ；

(2)、间接应用：在（1）条件下，求 $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$ 的值；

(3)、拓展应用：已知实数x，y满足： $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{m} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $m n \neq - 1$ ，求 $\frac{1}{m^{2}} + n^{2}$ 的值.

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（人教版）吉林地区八年级升九年级2023年暑假衔接 专题5 一元二次方程的根与系数的关系

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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