安徽省2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 5$ 的相反数是（）

A、5 B、 $- 5$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{4} + a^{4} = a^{8}$ B、 $a^{4} \cdot a^{4} = a^{16}$ C、 ${(a^{4})}^{4} = a^{16}$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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4. 在数轴上表示不等式 $\frac{x - 1}{2} < 0$ 的解集，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列函数中， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = 2 x + 1$ D、 $y = - 2 x + 1$

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6. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $O C ， O D$ ，则 $∠ B A E - ∠ C O D =$ （）

A、 $60 °$ B、 $54 °$ C、 $48 °$ D、 $36 °$

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7. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用 $1$ ， $2$ ， $3$ 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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8. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ 并延长，交边 $B C$ 于点 $M$ ，交边 $A B$ 的延长线于点 $G$ ．若 $A F = 2$ ， $F B = 1$ ，则 $M G =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{10}$

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9. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内的图象与一次函数 $y = - x + b$ 的图象如图所示，则函数 $y = x^{2} - b x + k - 1$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $△ A D E$ 和 $△ B C E$ 是位于直线 $A B$ 同侧的两个等边三角形，点 $P ， F$ 分别是 $C D ， A B$ 的中点．若 $A B = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $P A + P B$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$ B、 $P E + P F$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ C D E$ 周长的最小值为6 D、四边形 $A B C D$ 面积的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt[3]{8} + 1 =$ ．

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12. 据统计， $2023$ 年第一季度安徽省采矿业实现利润总额 $74.5$ 亿元，其中 $74.5$ 亿用科学记数法表示为．

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13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图， $A D$ 是锐角 $△ A B C$ 的高，则 $B D = \frac{1}{2} (B C + \frac{A B^{2} - A C^{2}}{B C})$ ．当 $A B = 7 ， B C = 6$ ， $A C = 5$ 时， $C D =$ ．

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14. 如图， $O$ 是坐标原点， $R t △ O A B$ 的直角顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $A B = 2 ， ∠ A O B = 30 °$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过斜边 $O B$ 的中点 $C$ ．

(1)、 $k =$ ；

(2)、 $D$ 为该反比例函数图象上的一点，若 $D B ∥ A C$ ，则 $O B^{2} - B D^{2}$ 的值为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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16. 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 $10 %$ ，乙地降价 $5$ 元，已知销售单价调整前甲地比乙地少 $10$ 元，调整后甲地比乙地少 $1$ 元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

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17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A ， B ， C ， D$ 均为格点（网格线的交点）．

(1)、画出线段 $A B$ 关于直线 $C D$ 对称的线段 $A_{1} B_{1}$ ；

(2)、将线段 $A B$ 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段 $A_{2} B_{2}$ ，画出线段 $A_{2} B_{2}$ ；

(3)、描出线段 $A B$ 上的点 $M$ 及直线 $C D$ 上的点 $N$ ，使得直线 $M N$ 垂直平分 $A B$ ．

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18. 【观察思考】

【规律发现】

请用含 $n$ 的式子填空：

(1)、第 $n$ 个图案中“”的个数为；

(2)、第 $1$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{1 \times 2}{2}$ ，第 $2$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{2 \times 3}{2}$ ，第 $3$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{3 \times 4}{2}$ ，第 $4$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{4 \times 5}{2}$ ， ……，第 $n$ 个图案中“★”的个数可表示为．

(3)、【规律应用】
结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数 $n$ ，使得连续的正整数之和 $1 + 2 + 3 + ⋯ + n$ 等于第 $n$ 个图案中“”的个数的 $2$ 倍．

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19. 如图， $O ， R$ 是同一水平线上的两点，无人机从 $O$ 点竖直上升到 $A$ 点时，测得 $A$ 到 $R$ 点的距离为 $40 m ， R$ 点的俯角为 $24.2 °$ ，无人机继续竖直上升到 $B$ 点，测得 $R$ 点的俯角为 $36.9 °$ ．求无人机从 $A$ 点到 $B$ 点的上升高度 $A B$ （精确到 $0.1 m$ ）．参考数据： $s i n 24.2 ° \approx 0.41 ， c o s 24.2 ° \approx 0.91 ， t a n 24.2 ° \approx 0.45$ ， $s i n 36.9 ° \approx 0.60 ， c o s 36.9 ° \approx 0.80 ， t a n 36.9 ° \approx 0.75$ ．

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20. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径．

(1)、如图1，连接 $O A ， C A$ ，若 $O A ⊥ B D$ ，求证； $C A$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、如图2， $E$ 为 $⊙ O$ 内一点，满足 $A E ⊥ B C ， C E ⊥ A B$ ，若 $B D = 3 \sqrt{3}$ ， $A E = 3$ ，求弦 $B C$ 的长．

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21. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按 $10$ 分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 $6$ 的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取 $10$ 名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级 $10$ 名学生活动成绩统计表

成绩/分

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

人数

$1$

$2$

$a$

$b$

$2$

已知八年级 $10$ 名学生活动成绩的中位数为 $8.5$ 分．

请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、样本中，七年级活动成绩为 $7$ 分的学生数是，七年级活动成绩的众数为分；

(2)、 $a =$ ， $b =$ ；

(3)、若认定活动成绩不低于 $9$ 分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

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22. 在 $R t △ A B C$ 中， $M$ 是斜边 $A B$ 的中点，将线段 $M A$ 绕点 $M$ 旋转至 $M D$ 位置，点 $D$ 在直线 $A B$ 外，连接 $A D ， B D$ ．

(1)、如图1，求 $∠ A D B$ 的大小；

(2)、已知点 $D$ 和边 $A C$ 上的点 $E$ 满足 $M E ⊥ A D ， D E ∥ A B$ ．
（ⅰ）如图2，连接 $C D$ ，求证： $B D = C D$ ；

（ⅱ）如图3，连接 $B E$ ，若 $A C = 8 ， B C = 6$ ，求 $t a n ∠ A B E$ 的值．

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23. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 是坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 经过点 $A (3 ， 3)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、已知点 $B ， C$ 在抛物线上，点 $B$ 的横坐标为 $t$ ，点 $C$ 的横坐标为 $t + 1$ ．过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $O A$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $O A$ 于点 $E$ ．
（ⅰ）当 $0 < t < 2$ 时，求 $△ O B D$ 与 $△ A C E$ 的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 $B$ ，使得以 $B ， C ， D ， E$ 为顶点的四边形的面积为 $\frac{3}{2}$ ？若存在，请求出点 $B$ 的横坐标 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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成绩/分	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
人数	$1$	$2$	$a$	$b$	$2$