四川省眉山市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的倒数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为 $0.0000021$ 毫米，数据 $0.0000021$ 用科学记数法表示正确的是（）

A、 $2.1 \times 1 0^{- 6}$ B、 $21 \times 1 0^{- 6}$ C、 $2.1 \times 1 0^{- 5}$ D、 $21 \times 1 0^{- 5}$

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $3 a^{3} - a^{2} = 2 a$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 $a^{3} b^{2} \div a^{2} = a$ D、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{4} b^{2}$

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A = 40 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $100 °$ C、 $110 °$ D、 $140 °$

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5. 已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（）

A、2 B、4 C、6 D、10

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6. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m < \frac{3}{2}$ B、 $m > 3$ C、 $m \leq 3$ D、 $m < 3$

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7. 已知关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 4 m + 1 \\ x + y = 2 m - 5 \end{array}$ 的解满足 $x - y = 4$ ，则m的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）

A、6 B、9 C、10 D、14

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9. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x > m + 3 \\ 5 x - 2 < 4 x + 1 \end{array}$ 的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）

A、 $- 5 \leq m < - 4$ B、 $- 5 < m \leq - 4$ C、 $- 4 \leq m < - 3$ D、 $- 4 < m \leq - 3$

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10. 如图， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点B，连接 $O A$ 交 $⊙ O$ 于点C， $B D ∥ O A$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $C D$ ，若 $∠ O C D = 25 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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11. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $3 a + c = 0$ ；④当 $- 3 < x < 1$ 时， $a x^{2} + b x + c < 0$ ；其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是 $C D$ 上一点，延长 $C B$ 至点F，使 $B F = D E$ ，连结 $A E ， A F ， E F$ ， $E F$ 交 $A B$ 于点K，过点A作 $A G ⊥ E F$ ，垂足为点H，交 $C F$ 于点G，连结 $H D ， H C$ ．下列四个结论：① $A H = H C$ ；② $H D = C D$ ；③ $∠ F A B = ∠ D H E$ ；④ $A K \cdot H D = \sqrt{2} H E^{2}$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 分解因式： $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x =$ ．

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14. 已知方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $(x_{1} + 2) \cdot (x_{2} + 2)$ 的值为．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是中线，分别以点A，点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线 $M N$ 交 $A B$ 于点E．连接 $C E$ 交 $A D$ 于点F．过点D作 $D G ∥ C E$ ，交 $A B$ 于点G．若 $D G = 2$ ，则 $C F$ 的长为．

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16. 关于x的方程 $\frac{x + m}{x - 2} - 1 = \frac{x - 1}{2 - x}$ 的解为非负数，则m的取值范围是．

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17. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点B的坐标为 $(- 8 ， 6)$ ，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 $y = - 2 x - 6$ 与 $A B$ 交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段 $B C$ 上，动点N在直线 $y = - 2 x - 6$ 上，若 $△ A M N$ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

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三、解答题

19. 计算： ${(2 \sqrt{3} - π)}^{0} - | 1 - \sqrt{3} | + 3 t a n 30 ° + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$

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20. 先化简： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x - 1}$ ，再从 $- 2 ， - 1 ， 1 ， 2$ 选择中一个合适的数作为x的值代入求值．

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21. 某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：

根据图中信息，完成下列问题：

(1)、①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角 $α$ 的度数为．

(2)、若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；

(3)、该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．

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22. 如图， $▱ A B C D$ 中，点E是 $A D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = A B$ ；

(2)、点G是线段 $A F$ 上一点，满足 $∠ F C G = ∠ F C D$ ， $C G$ 交 $A D$ 于点H，若 $A G = 2 ， F G = 6$ ，求 $G H$ 的长．

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23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．

(1)、求甲，乙两种书的单价分别为多少元：

(2)、若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6 ， a)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点P，使 $△ A B P$ 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图， $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点E． $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，过点E作 $E D ⊥ A C$ 于点D，延长 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点P．

(1)、求证： $P E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $s i n ∠ P = \frac{1}{3} ， B P = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当点P在直线 $A C$ 上方的抛物线上时，连接 $B P$ 交 $A C$ 于点D．如图1．当 $\frac{P D}{D B}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\frac{P D}{D B}$ 的最大值；

(3)、过点P作x轴的垂线交直线 $A C$ 于点M，连接 $P C$ ，将 $△ P C M$ 沿直线 $P C$ 翻折，当点M的对应点 $M'$ 恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

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