四川省南充市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如果向东走10m记作 $+ 10 m$ ，那么向西走 $8 m$ 记作（）

A、 $- 10 m$ B、 $+ 10 m$ C、 $- 8 m$ D、 $+ 8 m$

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2. 如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 向右平移得到 $△ D E F$ ，若 $B C = 5$ ， $B E = 2$ ，则 $C F$ 的长是（）

A、2 B、 $2.5$ C、3 D、5

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3. 某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（）

A、22cm B、22.5cm C、23cm D、23.5cm

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4. 如图，小兵同学从 $A$ 处出发向正东方向走 $x$ 米到达 $B$ 处，再向正北方向走到 $C$ 处，已知 $∠ B A C = α$ ，则 $A$ ， $C$ 两处相距（）

A、 $\frac{x}{s i n α}$ 米 B、 $\frac{x}{c o s α}$ 米 C、 $x \cdot s i n α$ 米 D、 $x \cdot c o s α$ 米

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5. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x - 1$ B、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x + 1$ C、 $\frac{1}{2} (x - 4.5) = x + 1$ D、 $\frac{1}{2} (x - 4.5) = x - 1$

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6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 $1.6 m$ ，同时量得小菲与镜子的水平距离为 $2 m$ ，镜子与旗杆的水平距离为 $10 m$ ，则旗杆高度为（）

A、 $6.4 m$ B、 $8 m$ C、 $9.6 m$ D、 $12.5 m$

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7. 若点 $P (m ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ （ $a \neq 0$ ）上，则下列各点在抛物线 $y = a {(x + 1)}^{2}$ 上的是（）

A、 $(m ， n + 1)$ B、 $(m + 1 ， n)$ C、 $(m ， n - 1)$ D、 $(m - 1 ， n)$

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， A B = 10$ ，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C ， A B$ 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ C A B$ 的内部相交于点P，画射线 $A P$ 与 $B C$ 交于点D， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E．则下列结论错误的是（）

A、 $∠ C A D = ∠ B A D$ B、 $C D = D E$ C、 $A D = 5 \sqrt{3}$ D、 $C D ： B D = 3 ： 5$

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9. 关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 2 m - 1 \\ x - y = n \end{array}$ 的解满足 $x + y = 1$ ，则 $4^{m} \div 2^{n}$ 的值是（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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10. 抛物线 $y = - x^{2} + k x + k - \frac{5}{4}$ 与x轴的一个交点为 $A (m ， 0)$ ，若 $- 2 \leq m \leq 1$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{21}{4} \leq k \leq 1$ B、 $k \leq$ $- \frac{21}{4}$ 或 $k \geq 1$ C、 $- 5 \leq k \leq$ $\frac{9}{8}$ D、 $k \leq - 5$ 或 $k \geq$ $\frac{9}{8}$

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二、填空题

11. 若分式 $\frac{x + 1}{x - 2}$ 的值为0，则 $x$ 的值为．

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12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为 $0.6$ ，若袋中有4个白球，则袋中红球有个．

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13. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D，M分别是弦 $A C$ ，弧 $A C$ 的中点， $A C = 12 ， B C = 5$ ，则 $M D$ 的长是．

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14. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省N的力．（杜杆原理：阻力 $\times$ 阻力臂 $＝$ 动力 $\times$ 动力臂）

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15. 如图，直线 $y = k x - 2 k + 3$ （k为常数， $k < 0$ ）与x，y轴分别交于点A，B，则 $\frac{2}{O A} + \frac{3}{O B}$ 的值是．

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16. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，过点C作射线 $C D ⊥ B C$ ，点M，N分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，将 $△ A B C$ 沿 $M N$ 折叠，使点B落在射线 $C D$ 上的点 $B ′$ 处，连接 $A B^{'}$ ，已知 $A B = 2$ ．给出下列四个结论：① $C N + N B^{'}$ 为定值；②当 $B N = 2 N C$ 时，四边形 $B M B^{'} N$ 为菱形；③当点N与C重合时， $∠ A B^{'} M = 18 °$ ；④当 $A B^{'}$ 最短时， $M N = \frac{7 \sqrt{21}}{20}$ ．其中正确的结论是（填写序号）

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(a - 2) (a + 2) - {(a + 2)}^{2}$ ，其中 $a = - \frac{3}{2}$ ．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上， $∠ C B E = ∠ A D F$ ．求证：

(1)、 $A E = C F$ ；

(2)、 $B E ∥ D F$ ．

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19. 为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动．七（1）班提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）．

(1)、已知该班有15人参加A类活动，则参加C类活动有多少人？

(2)、该班参加D类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和1名男生的概率．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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21. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 $A (- 1 ， 6)$ ， $B (\frac{3}{a} ， a - 3)$ ，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、点M在x轴上，若 $S_{△ O A M} = S_{△ O A B}$ ，求点M的坐标．

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22. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点A，半径 $O C ∥ A B$ ， $B C$ 与 $⊙ O$ 相交于点D，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $∠ O C A = ∠ A D C$ ；

(2)、若 $A D = 2 ， t a n B = \frac{1}{3}$ ，求 $O C$ 的长．

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23. 某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且 $4 \leq m \leq 6$ ，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式 $y = 80 + 0.01 x^{2 .}$

(1)、若产销A，B两种产品的日利润分别为 $w_{1}$ 元， $w_{2}$ 元，请分别写出 $w_{1}$ ， $w_{2}$ 与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)、分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）

(3)、为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润 $=$ （售价 $-$ 成本） $\times$ 产销数量 $-$ 专利费】

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24. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 是 $A M$ 的中点，连接 $E D$ ， $E C$ ．

(1)、求证： $E D = E C$ ；

(2)、将 $B E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在 $A C$ 上，连接 $M B^{'}$ ．当点 $M$ 在边 $B C$ 上运动时（点 $M$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），判断 $△ C M B^{'}$ 的形状，并说明理由．

(3)、在（2）的条件下，已知 $A B = 1$ ，当 $∠ D E B^{'} = 45 °$ 时，求 $B M$ 的长．

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25. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

(3)、如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 $K (1 ， 3)$ 的直线（直线 $K D$ 除外）与抛物线交于G，H两点，直线 $D G$ ， $D H$ 分别交x轴于点M，N．试探究 $E M \cdot E N$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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