四川省广安市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. －6的绝对值是（）

A、-6 B、6 C、- $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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2. 下列运算中，正确的是（　　）

A、 $a^{2} + a^{4} = a^{6}$ B、 $3 a^{3} \cdot 4 a^{2} = 12 a^{6}$ C、 ${(2 a + b)}^{2} = 4 a^{2} + b^{2}$ D、 ${(- 2 a b^{2})}^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$

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3. 2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消费加速回升． $1 - 2$ 月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长 $10.8 %$ ．请将116亿用科学记数法表示（　　）

A、 $1.16 \times 1 0^{9}$ B、 $1.16 \times 1 0^{10}$ C、 $1.16 \times 1 0^{11}$ D、 $116 \times 1 0^{8}$

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4. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列说法正确的是（　　）

A、三角形的一个外角等于两个内角的和 B、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C、在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8 D、甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差 $S_{甲}^{2} = 0.25$ ，乙组的方差 $S_{乙}^{2} = 0.15$ ，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定

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6. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数，点 $P (a ， c)$ 在第四象限，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判定

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7. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图， $y_{1} 、 y_{2}$ 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用 $y$ （单位：元）与行驶路程 $S$ （单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为 $x$ 元，则可列方程为（　　）

A、 $\frac{25}{x} = \frac{10}{3 x - 0.1}$ B、 $\frac{25}{x} = \frac{10}{3 x + 0.1}$ C、 $\frac{25}{3 x + 0.1} = \frac{10}{x}$ D、 $\frac{25}{3 x - 0.1} = \frac{10}{x}$

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9. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点 $E$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积是（　　）

A、 $π - 2$ B、 $2 π - 2$ C、 $2 π - 4$ D、 $4 π - 4$

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10. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a 、 b 、 c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ．有下列结论：① $a b c > 0$ ；②若点 $(- 2 ， y_{1})$ 和 $(- 0.5 ， y_{2})$ 均在抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $5 a - b + c = 0$ ；④ $4 a + c > 0$ ．其中正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. $\sqrt{16}$ 的平方根是．

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12. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ 中自变量x的取值范围是．

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13. 定义一种新运算：对于两个非零实数 $a 、 b$ ， $a ※ b = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ ．若 $2 ※ (- 2) = 1$ ，则 $(- 3) ※ 3$ 的值是．

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，圆的半径为7， $∠ B A C = 60 °$ ，则弦 $B C$ 的长度为．

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15. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 $9 c m$ ，底面周长为 $16 c m$ ，在杯内壁离杯底 $4 c m$ 的点 $A$ 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 $1 c m$ ，且与蜂蜜相对的点 $B$ 处，则蚂蚁从外壁 $B$ 处到内壁 $A$ 处所走的最短路程为 $c m$ ．（杯壁厚度不计）

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16. 在平面直角坐标系中，点 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} 、 A_{4} ⋯$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B_{1} 、 B_{2} 、 B_{3} ⋯$ 在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x (x \geq 0)$ 上，若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，且 $△ A_{1} B_{1} A_{2} 、 △ A_{2} B_{2} A_{3} 、 △ A_{3} B_{3} A_{4} ⋯$ 均为等边三角形．则点 $B_{2023}$ 的纵坐标为．

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三、解答题

17. 计算： $- 1^{2024} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{0} - 2 c o s 60 ° + | \sqrt{5} - 3 |$

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18. 先化简 $(\frac{a^{2}}{a + 1} - a + 1) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，再从不等式 $- 2 < a < 3$ 中选择一个适当的整数，代入求值．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O ， B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E 、 F$ ，且 $A F = C E ， ∠ B A C = ∠ D C A$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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20. 如图，一次函数 $y = k x + \frac{9}{4}$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m \neq 0)$ 的图象在第一象限交于点 $A (1 ， n)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (- 3 ， 0)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式．

(2)、点 $P$ 在 $x$ 轴上， $△ A B P$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $P$ 的坐标．

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21. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

(1)、本次抽取调查学生共有人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为人．

(2)、请将以上两个统计图补充完整．

(3)、甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．

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22. “广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售 $A 、 B$ 两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱 $A$ 种盐皮蛋和6箱 $B$ 种盐皮蛋共需390元；若购买5箱 $A$ 种盐皮蛋和8箱 $B$ 种盐皮蛋共需310元．

(1)、 $A$ 种盐皮蛋、 $B$ 种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？

(2)、若某公司购买 $A 、 B$ 两种盐皮蛋共30箱，且 $A$ 种的数量至少比 $B$ 种的数量多5箱，又不超过 $B$ 种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

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23. 为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园 $A B C$ 边上修建一个四边形人工湖泊 $A B D E$ ，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点 $C$ 在点 $A$ 的正东方向170米处，点 $E$ 在点 $A$ 的正北方向，点 $B 、 D$ 都在点 $C$ 的正北方向， $B D$ 长为100米，点 $B$ 在点 $A$ 的北偏东 $30 °$ 方向，点 $D$ 在点 $E$ 的北偏东 $58 °$ 方向．

(1)、求步道 $D E$ 的长度．

(2)、点 $D$ 处有一个小商店，某人从点 $A$ 出发沿人行步道去商店购物，可以经点 $B$ 到达点 $D$ ，也可以经点 $E$ 到达点 $D$ ，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据： $s i n 58 ° \approx 0.85 ， c o s 58 ° \approx 0.53 ， t a n 58 ° \approx 1.60 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

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25. 如图，以 $R t △ A B C$ 的直角边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交斜边 $A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $O E 、 D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $s i n C = \frac{4}{5} ， D E = 5$ ，求 $A D$ 的长．

(3)、求证： $2 D E^{2} = C D \cdot O E$ ．

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26. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A ， B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = - 1$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点， $P M ⊥ x$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式．

(2)、若点 $P$ 在线段 $A O$ 上运动（点 $P$ 与点 $A$ 、点 $O$ 不重合），求四边形 $A B C N$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标．

(3)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，则在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ 、 $N 、 C 、 Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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