浙江省台州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-20 类型：中考真卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1. 下列各数中，最小的是（）．

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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2. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 下列无理数中，大小在3与4之间的是（）．

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{17}$

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4. 下列运算正确的是（）．

A、 $2 (a - 1) = 2 a - 2$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 $3 a + 2 a = 5 a^{2}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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5. 不等式 $x + 1 \geq 2$ 的解集在数轴上表示为（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位留的坐标为 $(- 2 ， 2)$ ，则“炮”所在位置的坐标为（）．

A、 $(3 ， 1)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(4 ， 1)$ D、 $(3 ， 2)$

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7. 以下调查中，适合全面调查的是（）．

A、了解全国中学生的视力情况 B、检测“神舟十六号”飞船的零部件 C、检测台州的城市空气质量 D、调查某池塘中现有鱼的数量

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8. 如图， $⊙ O$ 的圆心O与正方形的中心重合，已知 $⊙ O$ 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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9. 如图，锐角三角形ABC中， $A B = A C$ ，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（）．

A、若 $C D = B E$ ，则 $∠ D C B = ∠ E B C$ B、若 $∠ D C B = ∠ E B C$ ，则 $C D = B E$ C、若 $B D = C E$ ，则 $∠ D C B = ∠ E B C$ D、若 $∠ D C B = ∠ E B C$ ，则 $B D = C E$

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10. 抛物线 $y = a x^{2} - a (a \neq 0)$ 与直线 $y = k x$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} + x_{2} < 0$ ，则直线 $y = a x + k$ 一定经过（）．

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

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二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11. 因式分解： $x^{2} - 3 x =$ .

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12. 一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是．

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13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若 $∠ 1 = 20 °$ ，则∠2的度数为．

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14. 如图，矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ．在边AD上取一点E，使 $B E = B C$ ，过点C作 $C F ⊥ B E$ ，垂足为点F，则BF的长为．

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15. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有人．

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16. 如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．

(1)、若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为．

(2)、若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．

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三、解答题（本题有8小题，第17~20题毎题8分，笰21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）

17. 计算： $2^{2} + | - 3 | - \sqrt{25}$ ．

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18. 解方程组： ${\begin{array}{l} x + y = 7 ， \\ 2 x - y = 2 . \end{array}$

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19. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $∠ B A C = 90 °$ ．黑板上投影图像的高度 $A B = 120 c m$ ， CB与AB的夹角 $∠ B = 33.7 °$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $s i n 33.7 ° \approx 0.55$ ， $c o s 33.7 ° \approx 0.83$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.67$ ）

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20. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度 $ρ$ （单位： $g / c m^{3}$ ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为 $1 g / c m^{3}$ 的水中时， $h = 20 c m$ ．

(1)、求h关于 $ρ$ 的函数解析式．

(2)、当密度计悬浮在另一种液体中时， $h = 25 c m$ ，求该液体的密度 $ρ$ ．

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21. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = ∠ C$ ， BD为对角线．

(1)、证明：四边形ABCD是平行四边形．

(2)、已知 $A D > A B$ ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．

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22. 为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．

表1：前测数据

测试分数x	$0 < x \leq 5$	$5 < x \leq 10$	$10 < x \leq 15$	$15 < x \leq 20$	$20 < x \leq 25$
控制班A	28	9	9	3	1
实验班B	25	10	8	2	1

表2：后测数据

测试分数x	$0 < x \leq 5$	$5 < x \leq 10$	$10 < x \leq 15$	$15 < x \leq 20$	$20 < x \leq 25$
控制班A	14	16	12	6	2
实验班B	6	8	11	18	3

(1)、A，B两班的学生人数分别是多少？

(2)、请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．

(3)、通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．

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23. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，直线l是 $⊙ O$ 的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．

(1)、如图1，当 $A B = 6$ ， $\overset{⌢}{B P}$ 长为 $π$ 时，求BC的长．

(2)、如图2，当 $\frac{A Q}{A B} = \frac{3}{4}$ ， $\overset{⌢}{B P} = \overset{⌢}{P Q}$ 时，求 $\frac{B C}{C D}$ 的值．

(3)、如图3，当 $s i n ∠ B A Q = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ， $B C = C D$ 时，连接BP，PQ，直接写出 $\frac{P Q}{B P}$ 的值．

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24. 【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间t/min	0	10	20	30	40
水面高度h/cm（观察值）	30	29	28.1	27	25.8

任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“ $t = 0$ ， $h = 30$ ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用 $t = 0$ 时， $h = 30$ ； $t = 10$ 时， $h = 29$ 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．

⑵请确定经过 $(0 ， 30)$ 的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．

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