四川省攀枝花市东区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列整式与 $x^{2} y$ 为同类项的是（）

A、 $3 x y$ B、 $2 x^{2} y$ C、 $x^{2} y z$ D、 $- 5 x y^{2}$

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算中，正确的是（）

A、 $(a - b) (- a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 $- 2 a (a - 1) = - 2 a^{2} - 2 a$ C、 $- 2 a^{2} b c \div \frac{1}{2} a b = - 4 a c$ D、 ${(- 3 a^{2} b)}^{2} = 6 a^{4} b^{2}$

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4. 每年的4月7日是世界健康日，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性，而血糖值（单位： $m m o l / L$ ）对于治疗疾病和观察疾病都有指导意义．某人在每天的早晨空腹自测血糖值，并将一周的数据绘制成如图所示的折线统计图，则这组数据的中位数和众数分别是（）

A、 $4.3 m m o l / L$ ， $4.3 m m o l / L$ B、 $4.7 m m o l / L$ ， $4.0 m m o l / L$ C、 $4.5 m m o l / L$ ， $4.3 m m o l / L$ D、 $4.7 m m o l / L$ ， $4.3 m m o l / L$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧分别相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $M N$ ，分别交线段 $B C$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，若 $A B = 3$ ， $△ A B D$ 的周长为11，则 $B C$ 的长度为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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6. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{32}$ B、 $\sqrt{27}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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7. 骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．下图是骑行爱好者老刘2023年2月12日骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）

A、点 $P$ 表示出发4h，老刘共骑行80km B、老刘的骑行在0～2h的速度比3~4h的速度慢 C、0~2h老刘的骑行速度为15km/h D、老刘实际骑行时间为4h

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8. 用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形 $A B C D$ ，测得 $B D = 10 c m$ ，活动学具成图（2）所示的四边形 $A B C D$ ，测得 $∠ A = 120 °$ ，则图（2）中 $B D$ 的长是（） $c m$

A、 $5 \sqrt{6}$ B、 $10 \sqrt{6}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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9. 把不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x > x - 6 \\ \frac{1 - 2 x}{3} \leq \frac{x - 4}{2} \end{array}$ 中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 有若干片相同的拼图，其形状如图1所示，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐．当4片拼图紧密拼成一行时长度为 $23 c m$ ，如图2所示．当10片拼图紧密拼成一行时长度为 $56 c m$ ，如图3所示．设图1中的两部分的长度分别为 $a c m$ ， $b c m$ ，则正确的是（）

A、依题意， $4 (a + b) = 23$ B、1片拼图的长度为 $5.75 c m$ C、将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加 $6.5 c m$ D、将 $n$ 片拼图紧密拼成一行时，总长度为 $(5.5 n + 1) c m$

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11. 如图， $A B$ 是半圆O的直径， $C ， D$ 是半圆上两点，点 $C$ 是弧 $B D$ 的中点， $∠ D A C = 30 °$ ， $B C = 6$ ，则弧 $B C$ 的长为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y $= \sqrt{3}$ x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　）

A、6 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、6 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 分式方程 $\frac{x}{x - 1} - \frac{3}{x + 1} = 1$ 的解是

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14. 学习电学知识后，小婷同学用四个开关 $A 、 B 、 C 、 D$ ，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于．

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15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿 $A F$ 折叠，使点 $D$ 落在 $B C$ 边的点 $E$ 处，过点 $E$ 作 $E G ∥ C D$ 交 $A F$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ．给出以下结论：（1） $D G = D F$ ；（2）四边形 $E F D G$ 是菱形；（3） $E G^{2} = G F \cdot A F$ ；（4）当 $A G = 3 ， E G = \sqrt{5}$ 时， $B E$ 的长为 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ，其中正确的是．（只填序号）

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a + 1} \div (\frac{3}{a + 1} - a + 1)$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 1$

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ， B D$ 相交于点O，O是 $A C$ 的中点， $A D ∥ B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A C = B D = 10 ， A D = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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19. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程.为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、此次被调查的学生人数为名；

(2)、直接在答题卡中补全条形统计图；

(3)、求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

(4)、根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程.

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20. 公园草坪上有一架秋千 $O A$ ，秋千静止时，底端 $A$ 到地面的距离 $A B$ 为 $0.5 m$ ，从坚直位置开始，向右可摆动的最大夹角为 $α ， s i n α = \frac{3}{5}$ ，已知秋千的长 $O A = 2 m$ ．

(1)、如图1，当向右摆动到最大夹角时，求 $A^{'}$ 到地面的距离；

(2)、如图2，若有人在 $B$ 点右侧搭建了一个等腰 $△ P C D$ 帐篷，已知 $B C = 0.6 m ， C D = 2 m$ ，帐篷的高 $P H$ 为 $1.8 m$ ，秋千摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴负半轴交于点 $A (- 5 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于 $B$ 点，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 交于 $C (- 2 ， 3)$ ， $D$ 两点．

(1)、求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象；

(2)、请直接写出不等式 $k x + b - \frac{m}{x} < 0$ 的解集；

(3)、求 $△ C O D$ 的面积．

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22. 如图， $⊙ O$ 是四边形 $A B C D$ 的外接圆， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B E ⊥ D C$ ，交 $D C$ 的延长线于点 $E ， C B$ 平分 $∠ A C E$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $c o s ∠ B A D = \frac{2}{5} ， A C = 10$ ，求 $C E$ 的长．

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23. 问题提出：已知矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ $(0 ° <$ $α$ $< 90 °)$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ ，则 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 有怎样的数量关系．

(1)、【问题探究】
探究一：如图，已知正方形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．
如图1，直接写出 $\frac{D F}{A E}$ 的值；

(2)、将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转到如图 $2$ 所示的位置，连接 $A E$ 、 $D F$ ，猜想 $D F$ 与 $A E$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、探究二：如图，已知矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．

如图3，若四边形 $A B C D$ 为矩形， $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α （ 0 ° < α < 90 ° ）$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ $(E$ 、 $F$ 的对应点分别为 $E^{'}$ 、 $F^{'}$ 点 $)$ ，连接 $A E^{'}$ 、 $D F^{'}$ ，则 $\frac{A E^{^{'}}}{D F^{^{'}}}$ 的值是否随着 $α$ 的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出 $\frac{A E^{^{'}}}{D F^{^{'}}}$ 的值．

(4)、【一般规律】
如图3，若四边形 $A B C D$ 为矩形， $B C = m A B$ ，其它条件都不变，将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ $(0 ° <$ $α$ $< 90$ $°)$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ ，连接 $A E^{'}$ ， $D F^{'}$ ，请直接写出 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 的数量关系．

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24. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C.

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、点D是线段 $O B$ 上一动点，过点D作y轴的平行线，与 $B C$ 交于点E，与抛物线交于点F.
①连接 $C F 、 B F$ ，当 $△ F B C$ 的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得 $△ C E F$ 为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.

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