四川省凉山州宁南县2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2023的倒数是（）

A、-2023 B、2023 C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长 $50.5 %$ ，将数据47.33亿用科学记数法表示为（）

A、 $4.733 \times 1 0^{10}$ B、 $4.733 \times 1 0^{9}$ C、 $4.733 \times 1 0^{8}$ D、 $0.4733 \times 1 0^{10}$

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4. 甲、乙两人在相同条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是9环，方差是1.4；乙射击成绩的平均数是9环，方差是0.8，下列说法中一定正确的是（）

A、甲的总环数大于乙的总环数 B、甲的成绩比乙的成绩稳定 C、甲、乙成绩的众数相同 D、乙的成绩比甲的成绩波动小

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5. 若|1-a|=a-1，则a的取值范围是（）

A、a＞1 B、a≥1 C、a＜1 D、a≤1

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6. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清洒有 $x$ 斗，那么可列方程为（）

A、 $10 x + 3 (5 - x) = 30$ B、 $3 x + 10 (5 - x) = 30$ C、 $\frac{x}{10} + \frac{30 - x}{3} = 5$ D、 $\frac{x}{3} + \frac{30 - x}{10} = 5$

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7. 如图，已知直线 $A B ∥ E F$ ， $E C$ 与 $A B$ 交于点 $C$ ，若 $∠ A = 23 °$ ， $∠ A D E = 59 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $23 °$ B、 $59 °$ C、 $36 °$ D、 $31 °$

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8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）

A、 $B D = B C$ B、 $A D = B D$ C、 $∠ A D B = 108 °$ D、 $C D = \frac{1}{2} A D$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ A B$ 于点 $H$ ，若 $∠ A O C = 45 °$ ， $A O = 2 \sqrt{2}$ ，则弦 $A B$ 的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 > 0 \\ 3 x - k < 4 \end{array}$ 只有3个整数解，则整数 $k$ 的值不可能是（）

A、-4 B、-3 C、-2 D、-1

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11. 如图，点 $E$ 在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将△ $A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点 $A$ 恰好落在 $B C$ 边上的点 $F$ 处，若 $C D = 2 B F$ ， $B E = 3$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、9 B、10 C、12 D、15

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，交 $y$ 轴的正半轴于点 $C$ ，对称轴交抛物线于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ ，则下列结论：① $b + 2 c > 0$ ， ② $a + b \geq a m^{2} + b m$ （ $m$ 为任意实数）；③若点 $P$ 为对称轴上的动点，则 $| P B - P C |$ 有取大值，最大值为 $\sqrt{c^{2} + 9}$ ；④若 $m$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $b^{2} - 4 a c = {(2 a m + b)}^{2}$ 成立．其中正确的序号有（）．

A、①②③④ B、①②③ C、③④ D、①②④

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二、填空题

13. 25的算术平方根是．

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14. 将抛物线 $y = 3 (x + 2)^{2} - 1$ 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是．

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15. 因式分解： $x^{2} + x y - 6 y^{2} =$ ．

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16. 某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元.若平均每次增长率为 $x$ ，则 $x =$ .

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17. 如图，将扇形 $A O B$ 沿 $O B$ 方向平移，使点 $O$ 移到 $O B$ 的中点 $O^{'}$ 处，得扇形 $A^{'} O^{'} B^{'}$ ，若 $∠ O = 90 °$ ， $O A = 4$ ，则阴影部分的面积为．

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三、解答题

18. 计算： $- \sqrt{{(- 2)}^{2}} -$ ${(2023 - π)}^{0}$ $+ | 1 - t a n 60 ° | - {(\sqrt{3} - 2)}^{- 1}$

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19. 先化简 $\frac{2 a + 2}{a - 1} \div (a + 1) + \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，然后 $a$ 在 $- 1 ， 1 ， 0$ 三个数中选一个合适的数代入求值．

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20. 为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．

(1)、补全条形统计图；

(2)、若全校有学生2000人，请估计全校使用手机的目的为“玩游戏”的学生人数；

(3)、在使用手机“查资料”的学生中，恰有3人每周都是使用手机50分钟，其中2女1男，计划在这3个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率．

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21. 如图，在小山的东侧A处有一热气球，由于受风力影响，它以 $20 m / m i n$ 的速度沿着与水平线成 $75 °$ 角的方向飞行， $30 m i n$ 后到达C处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P及小山西侧的B处在一条直线上，同时测得B处的俯角为 $30 °$ ．在A处测得山顶P的仰角为 $60 °$ ，求山的高度．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ，点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上，且 $∠ B A C = 2 ∠ C B F$ ．

(1)、求证： $B F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的直径为3， $s i n ∠ C B F = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $B C$ 和 $B F$ 的长．

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四、填空题

23. 已知等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另外两边的长 $b ， c$ 恰好是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (3 k + 3) x + 9 k = 0$ 的两个根，则 $△ A B C$ 的周长为

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24. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $E ， F$ 分别是 $A D ， A B$ 边上一点，且 $A E = B F$ ，连接 $B E ， C F$ 交于点 $P$ ，则线段 $D P$ 的最小值为

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五、解答题

25. 如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂= $\frac{k}{x}$ 的图象相交于点A（-1，4），C（m，-2），AB⊥x轴，垂足为点B．

(1)、求函数y₁=ax+b与y₂= $\frac{k}{x}$ 的解析式；

(2)、当x为何值时，y₂＞y₁；

(3)、在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

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26. 某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格 $a$ 元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)、求a的值．

(2)、经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售．
①求y关于x的函数解析式；
②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？

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27. 如图，点 $E 、 F 、 G 、 H$ 分别在菱形 $A B C D$ 的四条边上（不在端点），且满足 $\frac{D H}{H A} = \frac{D G}{G C} = \frac{B E}{E A} = \frac{B F}{F C}$ ，连接 $E F 、 F G 、 G H 、 H E$ ，得到四边形 $E F G H$ ．

(1)、求证：四边形 $E F G H$ 是矩形；

(2)、设菱形边长为 $a$ ， $∠ A = 60 °$ ，当 $E B$ 为何值时，矩形 $E F G H$ 面积最大，最大值为多少？

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28. 定义：向量 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1}) ， \vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ．已知 $\vec{m} = (x c o s 30 ° ， 1 - a x)$ ， $\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{6} x ， - 1)$ ， $y = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y$ 的解析式；

(2)、当 $0 \leq x \leq 2$ 时，求函数 $y$ 的最小值(用含 $a$ 的代数式表示)，并求最小值 $y$ 的范围；

(3)、在（1）的条件下，将（1）中的函数图象向右移2个单位，再上移一个单位，得函数 $y_{1}$ 的图象，记 $y^{'} = | y_{1} |$ ，直线 $l$ 过点 $P (\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ 且与函数 $y^{'}$ 的图象恰有三个交点，求直线 $l$ 的解析式．

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