四川省成都市郫都区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入100元记作 $+ 100$ 元，那么支出60元应记作（）

A、-60元 B、40元 C、+40元 D、+60元

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2. 如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）

A、 $4.4 \times 1 0^{8}$ B、 $4.4 \times 1 0^{9}$ C、 $44 \times 1 0^{8}$ D、 $4.4 \times 1 0^{10}$

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4. 点P（－2，－3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（）

A、（－3，0） B、（－1，6） C、（－3，－6） D、（－1，0）

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $x + 2 x^{2} = 3 x^{3}$ B、 $x \cdot x = 2 x$ C、 $(x^{3})^{3} = x^{6}$ D、 $x^{4} \div x^{3} = x$

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6. 成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴，某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：10，9，11，10，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（）

A、10人，9人 B、10人，10人 C、10人，11人 D、8人，11人

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7. 如图，在数轴上表示的不等式组的解集，这个解集为（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x > - 1$ C、 $x \leq 2$ 或 $x > - 1$ D、 $- 1 < x \leq 2$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、函数的最小值为 $a + b + c$ C、当 $- 1 < x < 3$ 时， $y > 0$ D、 $4 a + 2 b + c > 0$

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二、填空题

9. 若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ ，且 $a + b = 7$ ，则 $a$ 的值为．

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10. 如图，平地上的两个小朋友玩跷跷板．已知跳跷板的支点是长板的中点，支柱高1米当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为．

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11. 如果分式 $\frac{x}{x - 3}$ 有意义，那么x的取值范围是.

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12. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点D，连接 $C D$ ．若 $∠ B = 25 °$ ，则 $∠ C D A$ 的度数为．

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三、解答题

14.

(1)、计算： $- 2^{- 1} + (\sqrt{3} - π)^{0} - | \sqrt{3} - 2 | - 2 s i n 60 °$ ；

(2)、化简： $(\frac{a}{a - 2} + 1) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + a}$ ．

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15. 为了传承优秀传统文化，我校开展“经典诵读”比赛互动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ 依次表示这三个诵读材料），将 $A$ ， $B$ ， $C$ 这三个字母分别写在 $3$ 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 $3$ 张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
求：

(1)、小明诵读《论语》的概率

(2)、小明和小亮诵读两个不同材料的概率．

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16. 如图，有大树 $A B$ 和建筑物 $C D$ ，从建筑物 $C D$ 的顶部 $D$ 处看树顶 $A$ 处的仰角为 $45 °$ ，看树干 $E$ 处的俯角为 $37 °$ ．若 $B C$ 在同一水平地面上，已知 $B C = 12$ 米， $B E = 2$ 米．求大树的高度 $A B$ （参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $O$ 在斜边 $A B$ 上，以 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径作 $⊙ O$ ，分别与 $B C$ 、 $A B$ 相交于点 $D$ 、 $E$ ，连接 $A D$ ．已知 $∠ C A D = ∠ B$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 4$ ， $B D = 6$ ，求 $A E$ 的长．

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18. 如图，一次函数 $y = - 2 x + 8$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象相交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）．

(1)、若点 $A$ 的纵坐标为7，求点 $B$ 的坐标；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{10}$ 时，求反比例函数的表达式；

(3)、连接并延长 $B O$ ，交反比例函数的图象于点 $C$ ，连接 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，若 $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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四、填空题

19. 已知 $a (a - 2) = 3$ ，则 $a^{2} + (a - 2)^{2}$ 的值为．

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20. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 3 x - a = 0$ 有两个实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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21. 我国的学者墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论 $.$ 如图，平面 $m$ ， $n$ ， $q$ 相互平行，平面 $q$ 到平面 $n$ 的距离是平面 $n$ 到平面 $m$ 的距离的2倍，直角三角形光源 $A B C$ 在平面 $m$ 上，若 $A B = A C = 4 c m$ ，通过小孔成的像 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 在平面 $q$ 上，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为．

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22. 定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点 $(- 1 ， - 1)$ 是函数 $y = 2 x + 1$ 的图象的“等值点”．若函数 $y = x^{2} - 2 (x \geq m)$ 的图象记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图象记为 $W_{2}$ ．当 $W_{1}$ 、 $W_{2}$ 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时， $m$ 的取值范围为．

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23. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 是 $B C$ 边上一动点．将 $A B E F$ 沿着 $E F$ 翻折，使得点 $B$ 落在点 $B'$ 处，若点 $P$ 是矩形内一动点，连接 $P B^{'}$ 、 $P C$ 、 $P D$ ，则 $P B' + \sqrt{2} P C + P D$ 的最小值为．

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五、解答题

24. 某超市进了一批成本为8元 $/$ 个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量 $y$ （个）与它的定价 $x$ （元 $/$ 个）的关系如图所示：

(1)、求这种文具盒每个星期的销售量 $y$ 与它的定价 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于125个，且单件利润不低于3元，当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 3$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， \frac{7}{2})$ ，且与直线 $l$ ： $y = k x + m (k > 0)$ 相交于点 $A (1 ， 1)$ 、 $B$ 两点．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、连接 $B C$ ，设直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，若 $B C = B D$ ，求点 $B$ 的坐标；

(3)、如附图，若在 $x$ 轴上存在两个点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ ，使 $∠ A P_{1} B = ∠ A P_{2} B = 90 °$ ，且 $P_{1} P_{2} = \sqrt{11}$ ，求 $k$ 的值．

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26. 矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $D C$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，过点 $F$ 作 $F G ∥ B C$ ，交 $A E$ 于点 $G .$ 过点 $A$ 作 $A H ⊥ A E$ 交 $C D$ 的延长线于点 $H$ ．

(1)、如图1，①求证： $D H = 2 B E$ ；②求证： $F G = 2 B E + D F$ ；

(2)、如图2，连接 $D E$ 交 $A F$ 于点 $P$ ， $A B = 3$ ．
①设 $D F = x$ ， $F G = y$ ，用含 $x$ 的式子表示 $y$ ；

②若 $F G = 5$ ，求 $D P$ 的长．

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