上海市长宁区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数中，比3大的有理数是（）

A、 $| - 3 |$ B、π C、 $\frac{22}{7}$ D、 $\sqrt{17}$

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2. 用换元法解方程 $\frac{x - 1}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x - 1} = 3$ 时，如果设 $\frac{x - 1}{x^{2}} = y$ ，那么原方程可化为关于y的方程是（）

A、 $y^{2} + 3 y - 1 = 0$ B、 $y^{2} - 3 y - 1 = 0$ C、 $y^{2} - 3 y + 1 = 0$ D、 $y^{2} + 3 y + 1 = 0$

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3. 如图，已知 $⊙ O$ 及其所在平面内的4个点．如果 $⊙ O$ 半径为5，那么到圆心 $O$ 距离为7的点可能是（）

A、 $P$ 点 B、 $Q$ 点 C、 $M$ 点 D、 $N$ 点

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4. 下列命题中，假命题的是（）

A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B、对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D、对角线平分一组对角的矩形是正方形

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5. 某抖音卖货小店专门营销一类货品，以八种型号销售，一段时间内的销售数据如下表所示：

货品型号

A

B

C

D

E

F

G

H

销售数据（件）

2

4

5

13

8

7

3

1

如果每件货品销售利润都相同，该小店决定多进一些D型号货品，那么影响店主决策的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、标准差 D、众数

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6. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $A （ 2 ， t ）， B （ 3 ， t ）， C （ 4 ， 2 ）$ ，那么 $a + b + c$ 的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、 $t$

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二、填空题

7. 计算： $2 x \cdot (- 3 x y^{2}) =$ ．

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8. 函数 $y = \sqrt{x + 2}$ 的定义域为．

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9. 已知 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，那么 $f (\sqrt{5}) =$ ．

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10. 如果关于x的方程 $x^{2} - 4 x + 2 c = 0$ 有实数根，那么实数c的取值范围是．

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11. 不等式组 ${\begin{array}{l} x < 3 x - 4 \\ \frac{2 + x}{2} \geq x - 1 \end{array}$ 的正整数解是．

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12. 已知线段 $a = 3$ ， $b = 4$ ，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么a，b，c不能组成三角形的概率是．

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13. 为了解某区九年级3000名学生中“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区体测中心随机调查了其中的200名学生，结果仅有45名学生未获满分，那么估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为．

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14. 已知点 $A (- 4 ， m)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，点A关于y轴的对称点 $A_{1}$ 恰好在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上，那么k的值为．

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15. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = \frac{1}{2} B C$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{C O} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{A B} =$ ．（结果用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，已知 $B D = 16$ ， $\tan ∠ O C D = \frac{4}{3}$ ，如果点E是边 $A B$ 的中点，那么 $O E =$ ．

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17. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 与弦 $C D$ 交于点E，已知 $∠ C E A = 45 °$ ， $D E = 7$ ， $O E = 3 \sqrt{2}$ ，那么 $\cot ∠ A B D$ 的值为．

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18. 如图，将平行四边形 $A B C D$ 沿着对角线 $A C$ 翻折，点 $B$ 的对应点为 $M$ ， $C M$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，如果 $∠ B = 76^{\circ}$ ， $∠ A C M = ∠ D C M + 10^{\circ}$ ，且 $N C = m$ ，那么平行四边形 $A B C D$ 的周长为．（参考数据： $\cos 76^{\circ} \approx 0.24 ， \tan 76^{\circ} \approx 4$ ）

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三、解答题

19. 计算： $8^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} - {(\sqrt{2023} - 1)}^{0} \times \sqrt{18}$

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20. 解方程组： ${\begin{matrix} x + y = 2 \\ x^{2} - 9 y^{2} = 0 \end{matrix}$

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21. 已知点 $A (- 2 ， m)$ 在双曲线 $y = - \frac{4}{x}$ 上，将点A向右平移5个单位得到点B．

(1)、当点B在直线 $y = - 2 x + b$ 上时，求直线 $y = - 2 x + b$ 的表达式；

(2)、当线段 $A B$ 被直线 $y = - 2 x + b$ 分成两部分，且这两部分长度的比为 $3 ： 2$ 时，求b的值．

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22. 为了测量某建筑物的高度 $B E$ ，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为 $i = 1 ： 2.4$ 的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为 $30 °$ ，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为 $60 °$ ，建筑物底端B的俯角为 $45 °$ ，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物 $B E$ 的高度与 $A D$ 的长．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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23. 如图1，点E、F分别在正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 、 $A B$ 上， $C E$ 与 $D F$ 交于点G．已知 $A E + A F = A B$ ．

(1)、求证： $C E ⊥ D F$ ；

(2)、以点G为圆心， $G D$ 为半径的圆与线段 $D F$ 交于点H，点P为线段 $B H$ 的中点，联结 $C P$ ，如图2所示，求证： $∠ B C P + ∠ D C E = ∠ E C P$ ．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + 6$ 与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且 $O B = O C$ ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、如图1，点D是抛物线上一点，直线 $B D$ 恰好平分 $△ A B C$ 的面积，求点D的坐标；

(3)、如图2，点E坐标为 $(0 ， - 2)$ ，在抛物线上存在点P，满足 $∠ O B P = 2 ∠ O B E$ ，请直接写出直线 $B P$ 的表达式．

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25. 如图1，在△ABC中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足 $C E = B D$ ，过点E作 $E F ⊥ C D$ 交AB于点F，垂足为点G．

(1)、求证： $Δ B C D \sim Δ B F E$ ；

(2)、延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求 $\frac{C M}{A C} + \frac{D F}{A D}$ 的值；

(3)、以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当 $B C = 8 ， A F = 2$ 时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．

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货品型号	A	B	C	D	E	F	G	H
销售数据（件）	2	4	5	13	8	7	3	1