上海市杨浦区2023年中考三模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，无理数是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{22}{7}$ C、 $\sqrt{4}$ D、0.101001000

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2. 下列计算中，正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{3} = a^{6}$ C、 $a^{3} \cdot a = a^{4}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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3. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）

A、方差 B、众数 C、平均数 D、频数

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4. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (x_{1} ， 2)$ 和 $B (x_{2} ， 4)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图像上，则下列关系式正确的是（）

A、 $x_{1} > x_{2} > 0$ B、 $x_{2} > x_{1} > 0$ C、 $x_{1} < x_{2} < 0$ D、 $x_{2} < x_{1} < 0$

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5. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（）

A、角 B、平行四边形 C、等腰梯形 D、正五边形

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6. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知 $△ A B C$ 是 $6 \times 6$ 的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 $△ A B C$ 相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 计算 $- 3 - 2 =$ ．

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8. 函数 $y = \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为．

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9. $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的其中一个有理化因式是.

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10. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - x > 0 \\ 2 x + 3 > 1 \end{array}$ 的解集是．

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11. 如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，那么 $m$ 的值是．

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12. 如果抛物线 $y = a x^{2}$ 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是．

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13. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率为

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14. 已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是．

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15. 如图，已知点G是 $△ A B C$ 的重心，设 $\vec{C A} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{A G}$ 用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 可表示为．

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16. 如果一个矩形的面积是 $40$ ，两条对角线夹角的余切值是 $\frac{3}{4}$ ，那么它的一条对角线长是．

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17. 如图，已知点M在正六边形 $A B C D E F$ 的边 $E F$ 上运动，如果 $A B = 1$ ，那么线段 $B M$ 的长度的取值范围是．

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18. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 7 ， ∠ A C B = 120 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $60 °$ ，点 $A 、 C$ 分别落在点 $D 、 E$ 处，联结 $D C$ ，如果 $D C ⊥ A C$ ，那么边 $B C$ 的长．

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三、解答题

19. 计算： $8^{\frac{1}{2}} + | 1 - \sqrt{2} | - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π - \sqrt{3})}^{0}$

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - 2 y = 5 ① \\ x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0 ② \end{array}$

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21. 某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中 $8 \leq x \leq 15$ ，且x为整数），部分对应值如下表：

每件售价x（元）

9

11

13

每天的销售量y（件）

105

95

85

(1)、求y与x的函数解析式；

(2)、如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？

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22. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 相交于点E， $A C = B C ， A B = 4 \sqrt{5} ， C D = 8$ ．

(1)、求 $\sin ∠ A E C$ 的值；

(2)、求点A到弦 $C D$ 的距离．

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是边 $A B$ 的中点， $D E ∥ B C ， B E ∥ C D$ ，联结 $A E 、 C E$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C D E$ ；

(2)、如果 $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，求证： $A C = 3 B C$ ．

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24. 已知抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (3 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，顶点为点D．

(1)、求抛物线的表达式和顶点D的坐标；

(2)、点P是线段 $A B$ 上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果 $P E = P B$ ，求点P的坐标；

(3)、在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线 $E C 、 E D$ 的距离相等，求线段 $E F$ 的长．

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25. 已知在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 3$ ，点O是边 $A B$ 上的一点（不与点A重合），以点O为圆心， $O A$ 长为半径作圆，交射线 $A B$ 于点G．

(1)、如图1，当 $⊙ O$ 与直线 $B D$ 相切时，求半径 $O A$ 的长；

(2)、当 $⊙ O$ 与 $△ B C D$ 的三边有且只有两个交点时，求半径 $O A$ 的取值范围；

(3)、连接 $O D$ ，过点A作 $A H ⊥ O D$ ，垂足为点H，延长 $A H$ 交射线 $B C$ 于点F，如果以点B为圆心， $B F$ 长为半径的圆与 $⊙ O$ 相切，求 $∠ A D O$ 的正切值．

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每件售价x（元）	9	11	13
每天的销售量y（件）	105	95	85