上海市普陀区2023年中考二模数学卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下 $2 ℃$ 记作 $- 2 ℃$ ，那么 $3 ℃$ 表示（）

A、零上 $3 ℃$ B、零下 $3 ℃$ C、零上 $5 ℃$ D、零下 $5 ℃$

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2. 下列算式中，计算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{3} + a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3}$ D、 $a^{12} \div a^{2}$

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3. 已知函数 $y = k x$ （k是常数， $k \neq 0$ ）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（）

A、 $k < 0$ B、图像一定经过点 $(1 ， k)$ C、图像是双曲线 D、 $y$ 的值随 $x$ 的值增大而减小

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4. 某城市30天的空气质量状况统计如下：

空气质量指数（ $W$ ）

40

60

90

110

120

140

天数

2

5

10

$a$

$b$

1

根据表中的信息，下列有关该城市这30天的空气质量指数的统计量中，可以确定的量是（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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5. 如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（）

A、矩形 B、正方形 C、等腰梯形 D、直角梯形

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $B O$ 、 $C O$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ ， $A O = 2$ ，下面结论中不一定正确的是（）

A、 $∠ B O C = 120 °$ B、 $∠ B A O = 30 °$ C、 $O B = 3$ D、点O到直线 $B C$ 的距离是1

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二、填空题

7. 因式分解： $x^{2} - 4 =$ .

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8. 已知 $f (x) = 2 x - 3$ ，那么 $f (3) =$ ．

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9. 方程 $\sqrt{x + 2} = x$ 的根是．

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10. 如果关于x的方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，那么 $m =$ ．

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11. 近视眼镜的度数 $y$ （度）与镜片焦距 $x$ （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数 $y$ 关于镜片焦距 $x$ 的函数解析式是．

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12. 一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．

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13. 不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中红色球有 $m$ 个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是 $\frac{1}{5}$ ，那么 $m =$ ．

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14. 学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校20名初三学生进行调查，其中有2名学生是乘私家车上学，如图是收集数据后绘制的扇形图．如果该校初三年级有200名学生，那么骑自行车上学的学生大约有人．

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15. 如图，斜坡 $A B$ 的坡度 $i_{1} = 1 ： \sqrt{3}$ ，现需要在不改变坡高 $A H$ 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡 $A C$ 的坡度 $i_{2} = 1 ： 2.4$ ，已知斜坡 $A B = 10$ 米，那么斜坡 $A C =$ 米．

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16. 如图， $A D ∥ B C$ ， $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $B O = 2 O D$ ，设 $A D = \vec{a}$ ， $A B = \vec{b}$ ，那么向量 $O C$ 用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示为．

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17. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 8$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上， $A E = 3$ ，以点 $E$ 为圆心、 $A E$ 为半径作 $⊙ E$ (如图)，点 $F$ 在边 $B C$ 上，以点 $F$ 为圆心、 $C F$ 为半径作 $⊙ F$ ．如果 $⊙ F$ 与 $⊙ E$ 外切，那么 $C F$ 的长是．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $D$ 为 $A B$ 中点（如图）， $E$ 为射线 $C A$ 上一点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折得到 $△ A^{'} D E$ ，点 $A$ 的对应点为 $A^{'}$ ，如果 $∠ E A^{'} C = 90 °$ ，那么 $A E =$ ．

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三、解答题

19. 计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 2} + {(π - 2023)}^{0} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} - 18^{\frac{1}{2}}$ ．

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 2 \leq \frac{x + 6}{2} ， \\ 2 (x + 1) < 5 x + 11 ， \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ， $D E ∥ A C$ ， $\cos C = \frac{4}{5}$ ， $A C = 10$ ， $B E = 2 A E$ ．

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、求 $△ B D E$ 的面积．

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22. 购物节期间， $A$ 、 $B$ 两家网店分别推出了促销活动， $A$ 店活动：当购买的商品总金额在200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的金额打 $a$ 折， $A$ 店购物的实付总金额 $y$ (元)与商品总金额 $x$ (元)之间的函数关系如图所示； $B$ 店活动：所有商品直接打七折．

(1)、当A店购买的商品总金额超过200元时，求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；

(2)、A店推出的促销活动中： $a =$ ；

(3)、某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现 $A$ 店的单价要比 $B$ 店的单价贵 $1$ 元，如果购买相同数量的优盘，在 $A$ 店的实付总金额是800元，而在 $B$ 店的实付总金额是819元．请求出 $A$ 店这种型号优盘的单价．

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23. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $A E ⊥ B D$ ，垂足为点 $F$ ， $A B \cdot D C = B F \cdot B D$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为矩形；

(2)、过点 $O$ 作 $O G ⊥ A C$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，求证： $E C = 2 D G$ ．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c$ （ $a \neq 0$ ）与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点 $C$ ．抛物线的顶点为点 $D$ ．

(1)、求抛物线的表达式，并写出点 $D$ 的坐标；

(2)、将直线 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，交 $y$ 轴于点 $E$ ．此时旋转角 $∠ E B C$ 等于 $∠ A B D$ ．
①求点 $E$ 的坐标；

②二次函数 $y = x^{2} + 2 b x + b^{2} - 1$ 的图象始终有一部分落在 $△ E C B$ 的内部，求实数 $b$ 的取值范围．

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25. 如图，半圆 $O$ 的直径 $A B = 4$ ，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），点 $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，分别连接 $A C$ 、 $B D$ ．

(1)、当 $A C$ 是圆 $O$ 的内接正六边形的一边时，求 $B D$ 的长；

(2)、设 $A C = x$ ， $B D = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)、定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $P$ ，连接 $P O$ ． $P O$ 是 $△ P A B$ 的中腰线，求 $A C$ 的长．

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空气质量指数（ $W$ ）	40	60	90	110	120	140
天数	2	5	10	$a$	$b$	1