上海市虹口区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\sqrt{5}$ 的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- 5$

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2. 方程 $\sqrt{x - 2} = 2$ 的解是（）

A、 $x = 4$ B、 $x = 5$ C、 $x = 6$ D、 $x = 7$

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3. 已知正比例函数 $y = (a - 3) x$ 的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（）

A、 $a > 3$ B、 $a < 3$ C、 $a > - 3$ D、 $a < - 3$

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4. 某地统计部门公布最近5年居民消费价格指数年增长率分别为 $1.5 % 、 1.2 % 、 1.9 % 、 1.2 %$ 和 $1.8 %$ ，业内人士评论说：“这5年居民消费价格指数年增长率相当平稳．”从统计角度看，“年增长率相当平稳”说明这组数据比较小的量是（）

A、方差 B、平均数 C、众数 D、中位数

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5. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形图 C、斐波那契螺旋线 D、科克曲线

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B = 5$ ， $B C = 12$ ．分别以点 $O$ 、 $D$ 为圆心画圆，如果 $⊙ O$ 与直线 $A D$ 相交、与直线 $C D$ 相离，且 $⊙ D$ 与 $⊙ O$ 内切，那么 $⊙ D$ 的半径长 $r$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} < r < 4$ B、 $\frac{5}{2} < r < 6$ C、 $9 < r < \frac{25}{2}$ D、 $9 < r < 13$

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二、填空题

7. 计算： $(- a^{2})^{3}$ = ．

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8. 计算: $\sqrt{（ 2 - \sqrt{5} ）^{2}}$ =.

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9. 如果关于x的一元二次方程x²－4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是．

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10. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 4$ ，点 $A (1 ， y_{1})$ 、 $B (3 ， y_{2})$ 都在该抛物线上，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ ． (填“ $>$ ”或“ $<$ ”或“ $=$ ”)．

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11. 如图，已知点 $A (- 1 ， 2)$ ，连接 $O A$ ，将线段 $O A$ 绕点O顺时针旋转 $90^{°}$ 得到线段 $O B$ ，如果点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上，那么k的值是．

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12. 在一个不透明的袋子中装有5个仅颜色不同的小球，其中红球3个，黑球2个，从袋子中随机摸出1个球．那么“摸出黑球”的概率是．

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13. 某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是．

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14. 如果正六边形的边心距为3，那么它的半径是．

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ， $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{D F}$ ＝．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $B C 、 A C$ 上， $∠ A B E = ∠ C$ ， $D E ∥ A B$ ，如果 $A B = 6$ ， $A C = 9$ ，那么 $S_{△ B D E} ： S_{△ C D E}$ 的值是．

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17. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．

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18. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 3$ ，点E在边AB上， $A E = 2$ ，连接DE，将 $△ A D E$ 沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果 $B F = \frac{1}{4} B C$ ，那么CG的长是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{m^{2}}{m^{2} + 4 m + 4} \div \frac{m}{m + 2} - \frac{m - 1}{m + 2}$ ，其中 $m = \sqrt{3} - 3$ ．

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20. 解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 4 \\ x - 3 y = 8 \end{matrix}$

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21. 某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．

(1)、求y与x的函数表达式；

(2)、要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ B A C = 2$ ．小明根据下列步骤作图：
①以点 $C$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧，交 $A C$ 的延长线于点 $D$ ；

②以点 $A$ 为圆心，取定长 $a$ 为半径作弧分别交 $∠ B A C$ 的两边于点 $M$ 、 $N$ ；

③以点 $D$ 为圆心， $a$ 为半径作弧，交 $C D$ 于点 $P$ ；

④以点 $P$ 为圆心， $M N$ 的长为半径作弧，交前弧于点 $Q$ ，连接 $D Q$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、填空：
由作图步骤①可得 $C D = A C$ ；

由作图步骤②③④可得 $=$ ；

又因为 $∠ A C B = ∠ D C E$ ：

所以 $△ A B C ≌ △ D E C$ ，理由是．

(2)、连接 $A E$ ，求 $\tan ∠ E A D$ 的值．

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23. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = C D$ ，点E为 $B C$ 延长线上一点， $∠ A D B = ∠ C D E$ ，点F在 $B D$ 上，联结 $C F$ ．

(1)、求证： $A D \cdot D E = A C \cdot D C$ ；

(2)、如果 $A D \cdot C E = D F \cdot D B$ ，求证：四边形 $D F C E$ 为梯形．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m - 3$ 的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点 $C (2 ， n)$ 在该抛物线上．

(1)、如图，点B的坐标为 $(0 ， 1)$
①求点A的坐标和n的值；

②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点 $A_{1}$ ，如果四边形 $D C A A_{1}$ 为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；

(2)、直线 $A C$ 与y轴相交于点E，如果 $B C ∥ A O$ 且点B在线段 $O E$ 上，求m的值．

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25. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，点 $P$ 在对角线 $B D$ 上， $\tan ∠ D B C = \frac{1}{2}$ ， $⊙ O$ 是 $△ P A B$ 的外接圆，点 $B$ 与点 $P$ 之间的距离记为 $m$ ．

(1)、如图2，当 $P A = P B$ 时，联结 $O B$ ，求证： $O B ⊥ B C$ ；

(2)、延长 $A P$ 交射线 $B C$ 于点 $Q$ ，如果 $△ A B Q$ 是直角三角形，求 $P Q$ 的长；

(3)、当圆心 $O$ 在菱形 $A B C D$ 外部时，用含 $m$ 的代数式表示 $⊙ O$ 的半径，并直接写出 $m$ 的取值范围．

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