吉林省长春市榆树市拉林河片2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣6的相反数是（　　）

A、﹣6 B、﹣ $\frac{1}{6}$ C、6 D、 $\frac{1}{6}$

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2. 北京时间2022年4月16日9时56分，近地点高度约384000米的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，圆满完成任务，384000这个数用科学记数法表示为（）

A、 $384 \times 10^{3}$ B、 $0.384 \times 10^{5}$ C、 $38.4 \times 10^{4}$ D、 $3.84 \times 10^{5}$

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3. 一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“欢”相对的字是（）

A、英 B、雄 C、凯 D、旋

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4. 某厂家去年八月份的口罩产量是50万个，十月份的口罩产量是72万个．若设该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率为x ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 72$ B、 $50 {(1 - x)}^{2} = 72$ C、 $50 (1 + x^{2}) = 72$ D、 $50 (1 - x^{2}) = 72$

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5. 如图，已知 $A (2 ， 1)$ ，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到 $A_{1}$ ，则 $A_{1}$ 的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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6. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $M$ 在 $\overset{⌢}{A F}$ 上，则 $∠ C M D$ 的大小为（）

A、60° B、45° C、30° D、15°

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ．按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线 $M N$ ；③以点D为圆心， $D C$ 的长为半径画圆弧，连接 $C E$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $1.8$ B、 $2.4$ C、 $3.2$ D、 $4.8$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (m - 2 ， y_{1})$ ， $B (m ， y_{2})$ 都在二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + n$ 的图象上．若 $y_{1} > y_{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m > 1$ C、 $m < 2$ D、 $m >2$

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二、填空题

9. 最简二次根式 $\sqrt{4 - 3 x}$ 与二次根式 $\sqrt{8}$ 是同类二次根式，则x＝．

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的值可以是（写出一个即可）．

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11. 正八边形一个外角的大小为度.

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12. 七巧板起源于我国先秦时期，19世纪传到国外，被称为“唐图”．图①是边长为4的正方形“唐图”，则图②中头部小正方形的面积为．

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13. 如图，正六边形ABCDEF内接于 $⊙ O$ ．若 $⊙ O$ 的周长为 $12 π$ ，则该正六边形的边长是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的点 $A$ 在 $y$ 轴的负半轴上，抛物线 $y = a {(x + 2)}^{2} + c (a > 0)$ 的顶点为 $E$ ，且经过点 $A$ 、 $B$ ．若 $△ A B E$ 为等腰直角三角形，则 $a$ 的值是．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(x + 1) (x + 3) + {(x - 2)}^{2}$ ，其中 $x = \sqrt{5}$ ．

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16. 有两个不透明的布袋A、B ，分别装有3个小球，布袋A中的小球分别标有数字 $- 1$ ， 0，2，布袋B中的小球分别标有数字 $- 2$ ， 1，1，它们除数字不同外其他均相同．从布袋A、B中各随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球的数字之和是正数的概率．

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17. 2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”多40元，当月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的 $2$ 倍，“雪容融”的销售总额是8000元，“冰墩墩”的销售总额是 $24000$ 元．求“雪容融”的销售单价．

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18. 2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）进行调查分析．下面给出了部分信息：

a ．七年级学生的成绩整理如下：

57　69　72　75　76　78　79　80　81　81

83　83　83　85　86　86　88　88　92　96

b ．八年级学生成绩的频数分布直方图如下图．

（数据分成四组： $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ），其中成绩在 $80 \leq x < 90$ 的数据如下：

80　82　83　85　85　85　87　88　88　89．

c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示

年级	平均数	中位数	众数
七年级	80.9	82	m
八年级	81.2	n	85

根据所给信息，解答下列问题：

(1)、

m =

，

n =

．

(2)、根据统计数据，你认为七、八两个年级哪个年级的成绩更好些，请说明理由．（至少从一个角度进行说明）

(3)、成绩达到85分及以上为优秀，估计参加本次活动的七年级和八年级学生中，此次测试成绩达到优秀的总人数．

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19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图①中作△ABC的中线BD ．

(2)、在图②中作△ABC的高BE ．

(3)、在图③中作△ABC的角平分线BF ．

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20. 3月23日下午，“天宫课堂”第二课如约举行，某校组织师生全员观看．为了解同学们对“天宫课堂”讲授知识的掌握情况(单位：分)进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
$a$ ． $30$ 名同学“天宫课堂”知识测试成绩的统计图如下．

$b$ .30名同学 $“$ 天宫课堂 $”$ 知识测试成绩的频数分布直方图如下． $($ 数据分成6组： $40 \leq x < 50$ ， $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100)$

$c$ ．测试成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是70，73，73，74，75，75，76，78．

$d$ ．小夏同学的“天宫课堂”知识测试成绩为78分．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、小夏同学的测试成绩在抽取的 $30$ 名同学的成绩中从高到低排名第．

(2)、抽取的 $30$ 名同学的成绩的中位数为．

(3)、序号为 $1$ ～ $10$ 的学生是七年级的，序号为 $11$ ～20的学生是八年级的，序号为 $21$ ～ $30$ 的学生是九年级的．若七年级学生成绩的方差记为 $S_{1}^{2}$ ，九年级学生成绩的方差记为 $S_{2}^{2}$ ，则 $S_{1}^{2}$ $S_{2}^{2}$ ． (填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”)

(4)、成绩 $80$ 分及以上记为优秀，该校初中三个年级 $720$ 名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为人．

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21. 缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机（如图①）及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究．

图①

【数据观察】记录的工作时间x（时）和织品长度y（厘米）的数据变化，如下表：

工作时间x（时）	0	2	4	6	8
织品长度y（厘米）	3	3.6	4.2	4.8	5.4

【探索发现】

(1)、建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x ，纵轴表示织品长度y ，描出以表格中数据为坐标的各点．

图②

(2)、观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

(3)、如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？

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22. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点 $E$ 是 $A D$ 上一点，过点 $E$ 作 $A C$ 的平行线，过点 $B$ 作 $A D$ 的平行线，两平行线交于点 $F$ ，连接 $A F$ ，

(1)、【方法感知】如图①，当点 $E$ 与点 $D$ 重合时，易证： $△ A E C ≌ △ F B E$ ． (不需证明)
【探究证明】如图②，当点 $E$ 与点 $D$ 不重合时，求证：四边形 $A C E F$ 是平行四边形．

小新同学受到【方法感知】中的启发，经过思考后延长 $C E$ 交 $B F$ 于点 $M$ ．

请完成小新同学的证明过程．

(2)、【结论应用】如图③，当 $C A ⊥ A B$ ， $∠ A B C = 30 °$ 时， $C E$ 的延长线交 $A B$ 于点 $N$ ，且点 $N$ 为 $A B$ 中点．
$\frac{N G}{G A}$ =；当 $A C = 2$ 时， $B F$ 的长为．

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 2$ .点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿 $A B - B A$ 运动，到点A停止.在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿 $A D - D C$ 运动.当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒 $(t > 0)$ .

(1)、用含t的代数式表示线段 $A P$ 的长.

(2)、以 $P Q$ 为边作矩形 $P Q M N$ ，使点M与点A在 $P Q$ 所在直线的两侧，且 $P Q = 2 M Q$ .
①当点Q在边 $A D$ 上，且点M落在 $C D$ 上时，求t的值.
②当点M在矩形 $A B C D$ 内部时，直接写出t的取值范围.

(3)、点E在边 $A B$ 上，且 $A E = 2$ .在线段 $P Q$ 上只存在一点F，使 $∠ A F E = 90 °$ ，直接写出t的取值范围.

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24. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象交x轴于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ ．

(1)、此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为．

(2)、求此二次函数的关系式．

(3)、当 $- 2 \leq x \leq 3$ 时，求二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的最大值和最小值．

(4)、点P为二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (- 3 < x < \frac{1}{2})$ 图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作 $P Q ∥ x$ 轴，点Q的横坐标为 $- 2 m - 4$ ．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (- 3 < x < \frac{1}{2})$ 的图象只有1个公共点时m的取值范围．

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