吉林省长春市新区2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图所示的领奖台，其俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2022年年末，我国人口比上年末减少85万人．“85万”这个数用科学记数法表示为（）

A、 $8.5 \times 10^{4}$ B、 $8.5 \times 10^{5}$ C、 $0.85 \times 10^{6}$ D、 $85 \times 10^{4}$

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3. 下列计算结果为2的是（）

A、 $- (- 2)$ B、 $+ (- 2)$ C、 $- (+ 2)$ D、 $- | - 2 |$

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4. 已知药品A的保存温度要求为 $0 ℃～ 5 ℃$ ，药品B保存温度要求为 $2 ℃ ~ 7 ℃$ ，若需要将A ， B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（）

A、 $0 ℃～ 2 ℃$ B、 $0 ℃～ 7 ℃$ C、 $2 ℃～ 5 ℃$ D、 $5 ℃～ 7 ℃$

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5. 如图为敦煌莫高窟的三兔图，将图案绕中心至少旋转 $α$ 度能与自身重合，则 $α$ 为（）

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $180 °$

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6. 如图，用三角支架固定空调外机，已知 $O A ⊥ A B$ ， $∠ A O B = α$ ， $B O = 0.4$ 米，则点O到墙面距离 $O A$ 为（）

A、 $0.4 \sin α$ 米 B、 $0.4 \cos α$ 米 C、 $\frac{0.4}{\sin α}$ 米 D、 $\frac{0.4}{\cos α}$ 米

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7. 如图，已知线段 $A B$ ，分别以点A、B为圆心， $A B$ 长为半径作圆弧，两弧相交于点C、D ，连接 $C D$ ，交线段 $A B$ 于点E ，以点E为圆心， $A E$ 长为半径作圆弧，交线段 $C E$ 于点F ，连接 $B C$ 、 $B F$ ，则 $∠ F B C$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $22.5 °$ D、 $15 °$

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8. 如图， $▱ A O B C$ 的顶点B在x轴正半轴上，点A与 $B C$ 的中点D都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，若 $▱ A O B C$ 的面积为12，则k的值为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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二、填空题

9. 分解因式： $a^{2} - 2 a$ ＝．

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - c = 0$ 有两个相等的实数根，则c的值为．

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11. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，可求得x的值为．

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12. 如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为 $9 cm$ ，经过20分钟，分针针尖转过的弧长为cm．（结果保留 $π$ ）

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13. 将一个含30°角的三角尺按如图方式放置在量角器上，使点A恰好落在量角器的弧上，三角尺与量角器交于B ， C两点，其中点，C的读数为22°，则点B的读数为．

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14. 已知点 $(a ， m)$ 与点 $(a + 2 ， n)$ 都在二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 的图象上，若 $m \geq n$ ，则a的取值范围为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(a + 1) (a - 1) - a (a + 3 ）$ ，其中 $a = - \frac{1}{3}$ ．

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16. 某运动俱乐部推出活动，到俱乐部消费的顾客都有一次抽奖机会，商家在一个不透明的纸箱中放入三个小球，分别标记字母A、B、C ，每个小球除字母不同外其余均相同，每次搅匀后顾客从纸箱中随机摸出一个小球记下字母后放回，按照字母兑换运动体验券即可(A：乒乓球；B：羽毛球；C：游泳)．小明和小亮均抽奖一次，用画树状图(或列表)的方法，求小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率．

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17. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上确定一点D ，连接 $C D$ ，使 $∠ D C B = ∠ A B C$ ；

(2)、在图②中 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上确定一点E ，连接 $C E$ ，使 $∠ A C E = ∠ A B C$ ；

(3)、在图③中 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上确定一点F ，连接 $A F$ ，使 $∠ B A F = ∠ A B C$ ．

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18. 小月与小方分别驾车从人民广场，到净月潭．两人同时出发，小月走A线路，全程20km，小方走B线路，全程18km，小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到 $\frac{1}{10}$ 小时，求小月的平均速度．

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19. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 是 $A C$ 边上的中线， $C E ∥ B D$ ， $B E ∥ A C$ ．

(1)、求证：四边形 $B E C D$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{13}$ ，则 $\tan ∠ B C E$ 的值为．

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20. 某校举办“科创达人”比赛，比赛分为笔试和科创作品展示两部分，其中笔试成绩占40%，作品展示成绩占60%．作品展示由十位评委现场打分后取平均数．对参加比赛的甲、乙两位同学得分数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a ．甲、乙两位同学的笔试成绩分别为85分、90分．

b ．甲同学作品展示十位评委给分的部分折线图：

c ．乙同学作品展示十位评委给分：

80，90，90，80，80，80，70，80，70，80．

d．甲、乙同学作品展示十位评委给分的平均数：

同学

甲

乙

平均数

85

m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、补全甲同学作品展示评委给分折线统计图；

(2)、 $m =$ ；

(3)、科创作品展示中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学的作品评价越一致．据此判断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致（填“甲”或“乙”）：

(4)、通过计算说明甲、乙两位同学中哪位同学的总成绩较高．

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21. A、B两个码头之间航程为48千米，甲、乙两轮船同时出发，甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头后，立即逆流匀速航行返回到A码头，乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头后停止，两轮船在静水中速度均为20千米/时，水流速度不变．两轮船距A码头的航程y（千米）与各自的航行时间x（时）之间的函数图象如图所示．

（顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度）

(1)、水流速度为千米/时；a值为；

(2)、求甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式；

(3)、当乙轮船到达A码头时，求甲轮船距A码头的航程．

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22. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，已知三角形纸片 $A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B = 30 °$ ，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折痕为 $A D$ ，点B的对应点为点E ， $A E$ 与 $C D$ 交于点F ，且 $D E ∥ A C$ ，则 $∠ D A F =$ 度；

(2)、操作二：如图②，将 $△ D F E$ 沿 $D F$ 继续折叠，点E的对应点为点G ． $D G$ 与 $A F$ 交于点M ， $D G$ 与 $A C$ 交于点N ，则图②中度数为 $30 °$ 的角共有个．

(3)、根据以上操作所得结论，解答下列问题：
①求证： $△ A M N ≌ △ D M F$ ；

②若 $B C = 3$ ，则线段 $M N$ 的长为 ▲ ．

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23. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 4$ ． $B D$ 为 $A C$ 边中线，点 $P$ 在线段 $B D$ 上（点 $P$ 不与点 $B$ 重合），连结 $P C$ ，作点 $B$ 关于 $P C$ 的对称点 $B^{'}$ ，连结 $B^{'} P$ 、 $B^{'} C$ ．

(1)、线段BD长为；

(2)、点 $B^{'}$ 到点A的距离最小值为；

(3)、当点 $B^{'}$ 落在 $△ A B D$ 的边上时，求线段BP的长度；

(4)、当直线 $P B^{'}$ 垂直于 $△ A B C$ 的一条直角边时，直线 $P B^{'}$ 与边AB交于点Q ，直接写出线段PQ的长度．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）经过点 $(0 ， - 3)$ ， $(2 ， - 3)$ ．点A、B在抛物线上（点A与点B不重合），且点A的横坐标为m ，点B的横坐标为 $2 - \frac{1}{3} m$ ，将此抛物线在A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为G ．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式；

(2)、当G的函数值y随x的增大而先减小后增大时，求m的取值范围；

(3)、当A、B两点到直线 $y = - 2$ 距离相等时，求m的值；

(4)、设点C的坐标为 $(1 - m ， - 2)$ ，点D的坐标为 $(m - 1 ， - 2)$ ，连接 $C D$ ，当线段 $C D$ 与G有一个公共点时，直接写出m的取值范围．

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同学	甲	乙
平均数	85	m