吉林省长春市双阳区2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数中，最小的数是（）

A、0 B、－2 C、1 D、 $- \sqrt{3}$

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2. 为推动农业丰收增产，2022年长春市实施“黑土粮仓”科技会战，新建高标准农田1190000亩，数据1190000用科学记数法表示为（）

A、 $1.19 \times 10^{7}$ B、 $11.9 \times 10^{6}$ C、 $1.19 \times 10^{6}$ D、 $119 \times 10^{4}$

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3. 如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

A、 $2 x < 0$ B、 $2 x \geq 4$ C、 $x - 4 < 2$ D、 $4 - x > 2$

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5. 含 $60 °$ 角的直角三角板与直线a、直线b的位置关系如图所示，若 $a ∥ b$ ， $∠ A D C = 58 °$ ，则 $∠ α$ 的度数是（）

A、 $122 °$ B、 $62 °$ C、 $38 °$ D、 $28 °$

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6. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得 $∠ A = α$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4 km$ ，则学校与凉亭之间的距离 $A B$ 等于（）

A、 $4 \sin α km$ B、 $\frac{4}{\sin α} km$ C、 $\frac{4}{\cos α} km$ D、 $4 \tan α km$

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7. 如图，在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．依据尺规作图的痕迹，不能推出的结论是（）

A、 $A E = B E$ B、 $A D = B D$ C、 $A E = C E$ D、 $B D = E C$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ D B E$ ，点 $A$ 、 $C$ 的对应点分别为 $D$ 、 $E$ ，连接 $C E$ ，当 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一直线上时，下列结论正确的是（）

A、 $∠ E C B = ∠ D$ B、 $C B = D B$ C、 $A C + C E = D B$ D、 $D E ∥ B C$

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二、填空题

9. 分解因式： $x^{2}$ －9= ．

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10. 一元二次方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 根的判别式的值是．

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11. 《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为．

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12. 小张同学准备用矩形纸片做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 30 cm ，$ 取 $C D$ 的中点O ，以O为圆心， $30 cm$ 长为半径作弧，分别交 $A D$ 于点E ， $B C$ 于点F ，得到扇形纸片 $E O F$ （阴影部分），发现点E、F分别是边 $A D$ 、 $B C$ 的中点，则此扇形纸片围成圆锥形帽子的底面圆的周长为 $cm$ （结果含 $π$ ）．

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13. 如图， $Rt △ O B A$ 的直角边 $A B ⊥ x$ 轴于点B ，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与 $A B$ 边交于点C ，连接 $O C$ ，作 $C D ∥ O B$ 交 $A O$ 于点D ，若 $△ O C D$ 面积为4， $A C = 2 B C$ ，则 $k =$ ．

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14. 如图，抛物线 $y = - 0.25 x^{2} + 4$ 与y轴交于点A ，过 $A O$ 的中点作 $B C ∥ x$ 轴，交抛物线 $y = x^{2}$ 于B、C两点（点B在C的左边），连接 $B O$ 、 $CO$ ，若将 $△ B O C$ 向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线 $y = - 0.25 x^{2} + 4$ 上，则点O平移后的坐标为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(x + 2)}^{2} + (x - 2) (x + 2) + x (x - 4)$ ，其中 $x = \sqrt{5}$ ．

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16. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将 $A$ （小雪）、 $B$ （寒露）、 $C$ （秋分）、 $D$ （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法，求小李两次抽取的邮票中至少有一张是 $D$ （立秋）的概率．
A. B. C. D.

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17. 小娜同学第一次在欧亚商场花 $21$ 元买了若干瓶牛奶，“五·一”期间商场做促销活动，同种牛奶每瓶便宜 $0.2$ 元，她又在该商场花 $24$ 元买了这种牛奶，结果所买的牛奶瓶数比第一次多 $20 %$ ，求小娜同学第一次在欧亚商场买牛奶的瓶数．

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18. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形．

(1)、在网格①中画出 $A B$ 中点，中点为C ．

(2)、在网格②中画出 $△ A B C$ ，使 $△ A B C$ 为钝角等腰三角形，点C在格点上．

(3)、在网格③中画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形，且 $A B = \sqrt{2} B C$ ，点C、点D均在格点上．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O ， $A E ⊥ B C$ 交 $C B$ 延长线于点E ， $C F ∥ A E$ 交 $A D$ 延长线于点F ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是矩形．

(2)、若四边形 $A B C D$ 为菱形，H为 $A B$ 中点，连接 $O H$ ，若 $D F = 3$ ， $A E = 4$ ，则 $O H$ 长为．

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20. 为弘扬中华传统文化，某校组织七、八年级全体学生参加了诗词大赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，

80 ~ 89

分为良好，

60 ~ 79

分为及格，59分及以下为不及格，学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．

a ．抽取七年级20名学生的成绩如下：

65 87 59 96 79 67 89 97 77 100

83 69 89 94 56 97 69 78 81 88

b ．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1：

（数据分成5组： $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）

c ．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2：

d ．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表：

年级	平均数	中位数	优秀率	方差
七年级	81	$m$	25%	169.1
八年级	82	82	$n$	154.6

请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、

m =

，

n =

．

(2)、补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图．

(3)、若本次八年级共有300人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有人．

(4)、你认为学生测试成绩较好的是年级（填“七”或“八”）．理由是（说出两点即可）．

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21. 为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图像所提供的信息解答下列问题：

(1)、乙工程队每天修公路米．

(2)、分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．

(3)、若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？

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22.

(1)、【基础问题】
如图①，矩形 $A B C D$ 中，点E为 $A B$ 边上一点，连接 $D E$ ，作 $E F ⊥ D E$ 交 $B C$ 于点F ，且 $D E = F E$ ，求证： $△ A E D ≌ △ B F E$ ．

(2)、【拓展延伸】
如图②，点E为平行四边形 $A B C D$ 内部一点， $E A = E B ， D A ⊥ A E$ ，作 $D F ⊥ B A$ 交 $B A$ 延长线于点F ，若 $D A = 2 E A ， A B = 5$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积为．

(3)、如图③，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 6$ ，在 $C D$ 边上取一点E ，使 $E C = 2 D E$ ，将 $△ A E D$ 沿 $△ A E D$ 翻折到 $△ A E D^{'}$ 位置，作 $D^{'} F ⊥ A B$ 于点F ，在 $D^{'} F$ 右侧作 $∠ F G D^{'} = 90 °$ ，则 $△ F G D^{'}$ 面积的最大值为．

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23. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C B = 4$ ， $A C = 3$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A$ → $C$ → $B$ 方向向终点 $B$ 运动，在 $A C$ 、 $C B$ 边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿 $C$ → $B$ → $A$ 方向向终点 $A$ 运动，在 $C B$ 、 $B A$ 边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当 $P$ 、 $A$ 、 $Q$ 不共线时，以 $P Q$ 、 $P A$ 为边作平行四边形 $A P Q D$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

(1)、 $\cos B =$ ．

(2)、求 $P C$ 的长度（用含 $t$ 的代数式表示）．

(3)、当平行四边形 $A P Q D$ 被线段 $A B$ 分成两部分的面积比为 $1 ∶ 5$ 时，求 $t$ 的值．

(4)、作四边形 $A P Q D$ 的对角线 $P D$ ，当 $P D$ 与 $△ A B C$ 某边平行时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x + 2 m^{2}$ $(m$ 是常数 $)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求二次函数． $y = - x^{2} + 2 m x + 2 m^{2}$ 图象的顶点坐标．

(2)、设二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x + 2 m^{2}$ 的图象为 $G (x \leq 2 m)$ ．
①当 $m = 2$ 时，求图象 $G$ 与 $x$ 轴交点坐标．

②若图象 $G$ 的最高点到 $x$ 轴的距离为 $a$ ，到直线 $y = - 2$ 的距离为 $b$ ，且 $b = 3 a$ ，求 $m$ 的值．

③过点 $A (1 - m ， 1)$ 作关于 $y$ 轴的对称点 $B$ ，连接 $A B$ ，线段 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得线段 $A D$ ，以 $A B$ 、 $A D$ 为邻边作矩形 $A B C D$ ．若图象 $G$ 落在矩形 $A B C D$ 内部图象的对应函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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