吉林省长春市德惠市2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（）

A、 $26.2883 \times 1 0^{10}$ B、 $2.62883 \times 1 0^{11}$ C、 $2.62883 \times 1 0^{12}$ D、 $0.262883 \times 1 0^{12}$

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3. 实数 $a ， b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $a < - 2$ B、 $b < 1$ C、 $a > b$ D、 $- a > b$

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4. 若一个正多边形的一个内角是 $108^{\circ}$ ，则这个正多边形的边数为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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5. 如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点， $∠ A = 15 °$ ， $∠ C = 27 °$ ，则∠AEC的大小为（）

A、27° B、42° C、45° D、70°

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6. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C ，此时飞机高度 $A C$ 为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为 $α$ ，则B、C之间的距离为（）

A、 $\frac{1400}{\tan α}$ 米 B、 $1400 \tan α$ 米 C、 $1400 \sin α$ 米 D、 $1400 \cos α$ 米

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $M$ 和 $N$ ，再分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于点 $D$ ，以下结论错误的是（）

A、 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线 B、 $∠ A D C = 60 °$ C、点 $D$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上 D、 $S_{△ A B D} ： S_{△ A B C} = 1 ： 2$

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8. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A (- 1 ， 2) ， B (2 ， 3) ， y = {ax}^{2}$ 的图象如图所示，则a的值可以为（）

A、0.7 B、0.9 C、2 D、2.1

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二、填空题

9. 因式分解： $4 x^{3} - 36 x =$ ．

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10. 不等式组 ${\begin{matrix} x - 3 < 0 \\ 2 - x < 1 \end{matrix}$ 的解集是．

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11. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形” $A B C D$ 的周长为52，则正方形 $d$ 的边长为．

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12. 将一块含30°角的三角板如图放置，三角板的一个顶点C落在以AB为直径的半圆上，斜边恰好经过点B ，一条直角边与半圆交于点D ，若AB＝2，则弧BD的长为（结果保留π）．

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13. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是cm．

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14. 如图，平面直角坐标系中，直线 $C D$ 与x轴、y轴分别交于点C、D ，点A、B为线段 $C D$ 的三等分点，且A、B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0 ， k > 0)$ 的图象上，若 $△ A O C$ 的面积为12，则k的值为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = - 2$ ．

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16. 一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．

(1)、搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于；

(2)、搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．

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17. 某市政工程队承担着1200米长的道路维修任务,为了减少对交通的影响,在维修了240米后通过增加人数和设备提高了工程进度,工作效率是原来的4倍,结果共用了6个小时就完成了任务.求原来每小时维修了多少米？

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18. 图①，图②，图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）

(1)、在图①中，在线段 $A B$ 上画出点 $M$ ，使 $A M = 3 B M$ ．

(2)、在图②中，画出一个格点 $C$ ，使 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形．

(3)、在图③中，在线段 $A B$ 上画出点 $P$ ，使 $\tan ∠ B P H = 1$ ．

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19. 如图，点 $E$ ， $F$ 分别在 $▱ A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F$ .请从以下三个条件：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $D E = D F$ ；③ $∠ 3 = ∠ 4$ 中，选择一个合适的作为已知条件，使 $▱ A B C D$ 为菱形.

(1)、你添加的条件是（填序号）；

(2)、添加了条件后，请证明 $▱ A B C D$ 为菱形.

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20. 某校为引导学生传承红色精神，争当时代新人，在全校开展“红色教育”学习活动，并让学生利用周末的时间，在家观看与“红色教育”相关的视频，为了解学生观看“红色教育”相关视频的时间情况，学校随机调查了部分学生最近一周周末在家观看“红色教育”相关视频的时间，根据调查结果绘制了如下统计图表（均不完整）．

组别

时间/h

频数

频率

A

0~1.0

18

0.12

B

1.0~2.0

45

0.3

C

2.0~3.0

$a$

0.4

D

3.0~4.0

27

$b$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、共调查了名学生；统计表中， $a =$ ， $b =$ ；并将条形统计图补充完整；

(2)、被调查的学生观看“红色教育”相关视频的时间的中位数在组；

(3)、已知A、B、C、D四组数据的平均数分别为0.5，1.5，2.5，3.5，请你估计该校学生最近一周周末观看“红色教育”相关视频的时间的平均数．

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21. 小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟：6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．

(1)、 $a =$ ；

(2)、求 $C D$ 所在直线的函数表达式；

(3)、小林与哥哥第二次相遇时距离公园还有多远？

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22.

(1)、【自主学习】填空：
如图1，点 $C$ 是 $∠ M O N$ 的平分线 $O P$ 上一点，点A在 $O M$ 上，用圆规在 $O N$ 上截取 $O B = O A$ ，连接 $B C$ ，可得 $Δ O A C ≅$ ，其理由根据是；

(2)、【理解运用】如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，试判断 $B C$ 和 $A C$ 、 $A D$ 之间的数量关系并写出证明过程．

(3)、【拓展延伸】如图3，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $C D$ ， $B E$ 分别是 $∠ A C B$ ， $∠ A B C$ 的平分线， $C D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ，若 $C E = 3$ ， $B D = 2$ ，请直接写出 $B C$ 的长．

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 6$ ， E为边 $A D$ 的中点．点P从点B出发沿射线 $B E$ 以每秒2个单位的速度运动，Q为线段 $B P$ 的中点．过点P作 $B E$ 的垂线，过点Q作 $B C$ 的平行线，两线交于点M ．设点P运动的时间为t秒 $(t > 0)$ ．

(1)、直接写出线段 $Q M$ 的长．（用含t的代数式表示）

(2)、当点M落在边 $C D$ 上时，求t的值．

(3)、当 $△ P Q M$ 与矩形 $A B C D$ 重合部分图形为四边形时，求t的取值范围．

(4)、当点Q与点M到矩形 $A B C D$ 的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与y轴交点的坐标 $(0 ， - 2)$ ．

(1)、求抛物线对应的函数表达式．

(2)、①当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，y的取值范围是．
②若 $n \leq x \leq 3$ 时， $- 3 \leq y \leq 1$ ，则n的取值范围是．

(3)、二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图象上一点P ，其横坐标为m ．过点P作 $P Q ⊥ x$ 轴于点Q ，点 $M (3 - m ， 0)$ ，以 $P Q$ 、 $Q M$ 为边构建矩形PQMN ，当矩形 $P Q M N$ 的边与二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象只有三个交点时，直接写出m的取值范围．

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组别	时间/h	频数	频率
A	0~1.0	18	0.12
B	1.0~2.0	45	0.3
C	2.0~3.0	$a$	0.4
D	3.0~4.0	27	$b$