吉林省松原市乾安县2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $(a^{2} + a b) \div a = a + b$ B、 $a^{2} \cdot a = a^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$

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3. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知 $∠ 1 = 80 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $20 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $120 °$

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4. 如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（）的长度，这样测量的依据是（）

A、 $A M$ ，两点之间，线段最短 B、 $A M$ ，两点确定一条直线 C、 $B N$ ，垂线段最短 D、 $B N$ ，三角形两边之和大于第三边

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5. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 3 x - \frac{9}{4} = 0$ 有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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6. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（）

A、10cm B、15cm C、20cm D、24cm

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二、填空题

7. 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作米.

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8. 2023年全国两会在北京圆满落下帷幕．《两会微博热度报告》显示，两会相关话题信息阅读量达78200000000．数据78200000000用科学记数法表示为．

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9. 计算：2cos60°= ．

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10. 分解因式： $x y^{2} - x =$ ．

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11. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”，如图， $\frac{B P}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这个比值介于整数 $n$ 和 $n + 1$ 之间，则 $n$ 的值是．

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12. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，当 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ，写出符合条件的 $k$ 的值（答案不唯一，写出一个即可）．

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13. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 $4.5 m$ 的竹竿 $A C$ 斜靠在石坝旁，量出竿上 $A D$ 长为 $1 m$ 时，它离地面的高度 $D E$ 为 $0.6 m$ ，则坝高 $C F$ 为 $m$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 4$ ， $∠ B A C = α$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $2 α$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，连接 $B^{'} C$ 并延长交 $A B$ 于点 $D$ ，当 $B^{'} D ⊥ A B$ 时， $\overset{⌢}{B B^{'}}$ 的长是．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $\frac{a^{2}}{a + 1}$ ﹣ $\frac{1}{a + 1}$ ，其中a＝3.

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B D$ 是它的一条对角线，求证： $△ A B D ≌ △ C D B$ ．

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17. 孟浩然是唐代著名的山水田园派诗人．《春晓》是他创作的一首名篇，这首古诗共有四句，如图，将这四句古诗分别制成编号为A，B，C，D的4张卡片，卡片除编号和内容外，其余完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．现从4张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求出随机抽出2张卡片恰好为相邻两句古诗的概率．
A. B.

C. D.

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18. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、网格中 $△ A B C$ 的形状是；

(2)、在图①中确定一点D ．连结 $D B$ 、 $D C$ ，使 $△ D B C$ 与 $△ A B C$ 全等；

(3)、在图②中 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上确定一点E ，连结 $A E$ ，使 $△ A B E ∽ △ C B A$ ．

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19. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 $10$ 元，某商家用 $8000$ 元购进的猪肉粽和用 $6000$ 元购进的豆沙粽盒数相同．求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价．

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20. 综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，

【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
芒果树叶的长宽比	3.8	3.7	3.5	3.4	3.8	4.0	3.6	4.0	3.6	4.0
荔枝树叶的长宽比	2.0	2.0	2.0	2.4	1.8	1.9	1.8	2.0	1.3	1.9

【实践探究】分析数据如下：

	平均数	中位数	众数	方差
芒果树叶的长宽比	3.74	m	4.0	0.0424
荔枝树叶的长宽比	1.91	2.0	n	0.0669

【问题解决】

(1)、上述表格中，

m =

，

n =

；

(2)、①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”

②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”

上面两位同学的说法中，合理的是（填序号）

(3)、现有一片长

11cm

，宽

5 .6cm

的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由．

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21. 今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上， $A B ⊥ C B$ 垂足为点B， $∠ A C B = 52 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ， $C D = 200 m$ ，求AB的高度.（精确到 $1m$ ）（参考数据： $sin52 ° \approx 0.79$ ﹐ $\cos 52 ° \approx 0.62$ ﹐ $\tan 52 ° \approx 1.28$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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22. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为 $5 L$ ．在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位： $\min$ ）之间的关系如图所示．

(1)、机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．

(2)、求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

(3)、直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．

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23. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD与BC重合，得到折痕EF ，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P ，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM ， BM ．

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：．

(2)、迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q ，连接BQ ．

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ ▲ ， ∠CBQ＝ ▲ °；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A ， D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．

(3)、拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．

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24. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时从C出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的运动时间为t秒．

(1)、在点P的运动过程中，CQ＝， BP＝（用含t的代数式表示）；

(2)、当点M落在AB边上时，t ＝s；

(3)、设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

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25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x²+bx+c的图象经过点A(0，-4)，点B(4，0)．

(1)、求此二次函数的解析式．

(2)、若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积．

(3)、当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m ，最小值为n ，若m-n＝3，直接写出t的值．

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