江苏省南通市通州区石港中学2022-2023学年高一下学期6月第三次阶段检测数学试卷

试卷更新日期：2023-06-16 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知 $M = {x ∣ x \in A$ 且 $x \notin B}$ ，若集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， B = {2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，则 $M =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${6 ， 8}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 3 ， 6 ， 8}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，“ $t a n A = 1$ ”是“ $A = 4 5^{°}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为 $2 π$ ，则该圆锥的高为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 复数 $z$ 满足 $| \frac{z}{i} | = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z - 3 + 4 i |$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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5. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为 $\bar{x}$ ，方差为s² ，则（）

A、 $\bar{x}$ ＝5，s²<2 B、 $\bar{x}$ ＝5，s²>2 C、 $\bar{x}$ >5，s²<2 D、 $\bar{x}$ >5，s²>2

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6. 已知 $t a n α = - \frac{1}{2}$ ， $t a n β = - \frac{1}{7}$ ，则 $t a n (2 α + β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{31}{17}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{31}{17}$

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7. 设m，n是不同的直线， $a ， β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ⊥ n ， n / / α$ ，则 $m ⊥ α$ B、 $m / / β ， β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ C、 $m ⊥ α ， α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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8. 已知锐角 $△ A B C$ 三边长分别为 $x$ ， $\sqrt{5}$ ， $x + 1$ ，则实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(\frac{2}{5} ， 2)$ D、 $(2 ， 5)$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. 复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ， i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、z的实部是 $\frac{1}{2}$ B、z的共轭复数为 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、z的实部与虚部之和为2 D、z在复平面内的对应点位于第一象限

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10. 下列抽查，适合抽样调查的是（）

A、进行某一项民意测验 B、调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 C、调查黄河的水质情况 D、调查某药品生产厂家一批药品的质量情况

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11. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， t) (t \in R)$ ，则（）

A、与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量的坐标为 $(\frac{3}{13} ， - \frac{2}{13})$ B、当 $t = 2$ 时， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 C、当 $t = 1$ 时， $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面内的一组基底 D、当 $t = 4$ 时， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(- \frac{3}{13} ， \frac{2}{13})$

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12. 一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为 $P_{2} A$ ， $P_{1} D$ ， $P_{4} D$ ， $P_{4} C$ ， $P_{3} C$ 的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论，其中正确结论的为（）

A、直线 $A F$ 与直线 $B Q$ 是异面直线； B、直线 $B E$ 与直线 $M N$ 是异面直线； C、直线 $B Q$ 与直线MN共面； D、直线 $B E$ 与直线 $A F$ 是异面直线.

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“ $\forall x ⩾ 0 ， x^{3} + x ⩾ 0$ ”的否定是.

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14. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为.

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15. 若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且 $O A^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ ，则该平面图形的面积为.

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E是棱 $D D_{1}$ 的中点，平面 $A_{1} B E$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面图形的周长为，若F是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上的动点，
且满足 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ，则点F的轨迹长度为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知复数 $z$ 是纯虚数， $(z + 2)^{2} - 8 i$ 是实数.

(1)、求 $z$ ；

(2)、若 $\frac{1}{z_{1}} = \frac{1}{z + 2} - z$ ，求 $| z_{1} |$ .

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18. 条件① $a c o s C - \frac{1}{2} c = b$ ；② $(b + c)^{2} = a^{2} + b c$ ；③ $s i n (A - \frac{π}{6}) = - 2 c o s A$ 中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.
问题： $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $s i n^{2} B + s i n^{2} C = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求角B的大小.

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19. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．

(1)、求证：AB∥EF；

(2)、求证：平面BCF⊥平面CDEF．

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20. $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{1}{6} \vec{B C}$ ， $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{A G} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}$ 和向量 $\vec{A C}$ 分别表示向量 $\vec{F D}$ ， $\vec{E G}$ ；

(2)、若 $\vec{F D} ⊥ \vec{E G}$ ，且角 $C$ 为直角，求 $c o s A$ 的值.

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21. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， D为 $C C_{1}$ 的中点， $E$ 为 $A B$ 上一点，且 $2 A E = B E$ ．

(1)、证明： $A D$ ∥平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、若 $A B = A A_{1} = 6$ ， $B C = 3$ ，求点 $D$ 到平面 $B_{1} C E$ 的距离．

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