上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-06-16 类型：期末考试

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 在复数范围内， $- 4$ 的所有平方根为

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2. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 1) x^{m + 1}$ 为奇函数，则该函数的表达式 $f (x) =$

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3. 无论 $a$ 为何值，函数 $y = a^{x - 3} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒经过一个定点，该定点坐标为

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4. 若 $l o g_{3} 2 = m$ ，则 $l o g_{2} 96 =$ （用含 $m$ 的式子表示）

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5. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = 60 °$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 3$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$

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6. 已知集合 $A = {x | \frac{1 + x}{1 - x} > 0}$ ，集合 $B = {x | | x - a | < 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，锐角 $θ$ 的大小如图所示，则 $t a n θ =$

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 k x + k^{2} - 2 k + 3 = 0$ 有两个虚根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，则实数 $k$ 的值为

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9. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{5 π}{4}) =$

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10. 如图，为计算湖泊岸边两景点 $B$ 与 $C$ 之间的距离，在岸上选取 $A$ 和 $D$ 两点，现测得 $A B = 5 k m$ ， $A D = 7 k m$ ， $∠ A B D = 60 °$ ， $∠ C B D = 23 °$ ， $∠ B C D = 117 °$ ，据以上条件可求得两景点 $B$ 与 $C$ 之间的距离为km（精确到0.1km）

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11. 已知 $A (0 ， 2)$ ，点 $P (s i n (2 t - \frac{π}{3}) ， c o s (2 t - \frac{π}{3}))$ 是平面上一个动点，则当 $t$ 由0连续变到 $\frac{π}{3}$ 时，线段 $A P$ 扫过的面积是

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} | s i n x | - | c o s x |$ ，有以下命题：
①函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；

②函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上为增函数；

③直线 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $y = f (x)$ 图像的一条对称轴；

④函数 $y = f (x) - 1$ 在 $[0 ， π]$ 上有三个零点；

⑤函数 $y = f (x)$ 的最小值为 $- 1$ .

请写出正确命题的全部序号

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二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A、 $a^{2} > a b$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 $\frac{a}{b} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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14. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ （其中e是自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当 $θ = π$ 时，恒等式 $e^{i π} + 1 = 0$ 更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断 $e^{- i \frac{2023 π}{3}}$ 表示的复数在复平面对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A E}$ ，若 $\vec{A B} = m \vec{D F} + n \vec{A E}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{4}{3}$

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ， $s i n B = c o s A s i n C$ ， $S_{△ A B C} = 6$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{7}{12} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 1)$ .

(1)、求 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (1 ， λ)$ ，则当 $λ$ 为何实数时， $\vec{c} ∥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ？平行时它们是同向还是反向？

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18. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究，经过2分钟菌落的覆盖面积为 $48 m m^{2}$ ，经过3分钟覆盖面积为 $64 m m^{2}$ ，后期其蔓延速度越来越快，菌落的覆盖面积 $y$ （单位：mm）与经过时间 $x$ （单位：min）的关系现有三个函数模型：① $y = k a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ ；② $y = l o g_{b} x (b > 1)$ ；③ $y = p \sqrt{x} + q (p > 0)$ 可供选择.

(1)、选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的表达式；

(2)、在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 $300 m m^{2}$ ？（结果保留到整数）

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19. 已知复平面上有点 $A$ 、 $B$ ，向量 $\vec{O A}$ 与向量 $\vec{A B}$ 对应的复数分别为 $1 + 2 i$ 和 $4 - i$ .

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、设点 $A$ 对应的复数为 $z_{1}$ ，复数 $z_{2}$ 满足 $| z_{2} | = 2 \sqrt{5}$ ， $I m z_{2} > 0$ ，且 $z_{1} z_{2}$ 为纯虚数，求复数 $z_{2}$ .

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20. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， 3 c o s x)$ ， $\vec{n} = (s i n x + 2 \sqrt{3} c o s x ， c o s x)$ ，令函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的表达式及其单调增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $t (t > 0)$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图像，且满足 $g (- x) = g (x)$ ，当 $t$ 最小时，存在实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = 4$ ，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值.

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21. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数： $s i n h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $c o s h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .（e是自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ ）.

(1)、计算 $c o s h (2) - 2 c o s h^{2} (1)$ 的值；

(2)、类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： $c o s h (x + y) =$ ，并加以证明；

(3)、若对任意 $t \in [0 ， l n 2]$ ，关于 $x$ 的方程 $s i n h (t) + c o s h (x) = a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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