四川省达州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-15 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 2023$ 的倒数是（）

A、 $- 2023$ B、 $2023$ C、 $- \frac{1}{2023}$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 下列图形中，是长方体表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（）

A、 $2502.7 \times 1 0^{8}$ B、 $2.5027 \times 1 0^{11}$ C、 $2.5027 \times 1 0^{10}$ D、 $2.5027 \times 1 0^{3}$

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4. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（）

A、3和5 B、2和5 C、2和3 D、3和2

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5. 如图， $A E ∥ C D$ ， $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $∠ 2 = 35 ° ， ∠ D = 60 °$ 则 $∠ B =$ （）

A、 $52 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $25 °$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a + a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(2 a^{3} b)}^{3} = 6 a^{9} b^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{4} = a^{2}$

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7. 某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{12000}{x} = \frac{11000}{x - 5} - 40$ B、 $\frac{12000}{x} - 40 = \frac{11000}{x + 5}$ C、 $\frac{12000}{x + 5} + 40 = \frac{11000}{x}$ D、 $\frac{11000}{x} + 40 = \frac{12000}{x - 5}$

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8. 下列命题中，是真命题的是（）

A、平行四边形是轴对称图形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $\frac{1}{2}$ 的正方形，曲线 $D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} ⋯$ 是由多段 $90 °$ 的圆心角的圆心为 $C$ ，半径为 $C B_{1}$ ； $\overset{⌢}{C_{1} D_{1}}$ 的圆心为 $D$ ，半径为 $D C_{1} ⋯ ， \overset{⌢}{D A_{1}} 、 \overset{⌢}{A_{1} B_{1}} 、 \overset{⌢}{B_{1} C_{1}} 、 \overset{⌢}{C_{1} D_{1}} ⋯$ 的圆心依次为 $A 、 B 、 C 、 D$ 循环，则 $\overset{⏜}{A_{2023} B_{2023}}$ 的长是（）

A、 $\frac{4045 π}{2}$ B、 $2023 π$ C、 $\frac{2023 π}{4}$ D、 $2022 π$

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10. 如图，拋物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 为常数）关于直线 $x = 1$ 对称．下列五个结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $a m^{2} + b m > a + b$ ；⑤ $3 a + c > 0$ ．其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 函数y= $\sqrt{2 x - 1}$ 的自变量x的取值范围是．

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12. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + k x - 2 = 0$ 的两个实数根，且 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = 10$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 如图，乐器上的一根弦 $A B = 80 c m$ ，两个端点 $A ， B$ 固定在乐器板面上，支撑点 $C$ 是靠近点 $B$ 的黄金分割点，支撑点 $D$ 是靠近点 $A$ 的黄金分割点， $C ， D$ 之间的距离为．

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14. 如图，一次函数 $y = 2 x$ 与反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象相交于 $A 、 B$ 两点，以 $A B$ 为边作等边三角形 $A B C$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $C$ ，则 $k$ 的值为．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ C = 60 °$ ，在边 $B C$ 上有一点 $P$ ，且 $B P = \frac{1}{2} A C$ ，连接 $A P$ ，则 $A P$ 的最小值为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $\sqrt{12} + | - 4 | - (2003 - π)^{0} - 2 c o s 30 °$ ；

(2)、先化简，再求值； $(a + 2 - \frac{5}{a - 2}) \div \frac{3 - a}{2 a - 4}$ ，其中 $a$ 为满足 $0 < a < 4$ 的整数．

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17. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达 $100 %$ ，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

(1)、该班共有学生 ▲ 人，并把条形统计图补充完整；

(2)、扇形统计图中， $m =$ ， $n =$ ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为度；

(3)、小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．

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18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 的顶点均在小正方形的格点上．

(1)、将 $△ A B C$ 向下平移3个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转90度得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在（2）的运动过程中请计算出 $△ A B C$ 扫过的面积．

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19. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为 $3 m$ ，当摆角 $∠ B O C$ 恰为 $26 °$ 时，座板离地面的高度 $B M$ 为 $0.9 m$ ，当摆动至最高位置时，摆角 $∠ A O C$ 为 $50 °$ ，求座板距地面的最大高度为多少 $m$ ？（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $s i n 26 ° \approx 0.44$ ， $c o s 26 ° \approx 0.9$ ， $t a n 26 ° \approx 0.49$ ， $s i n 50 ° \approx 0.77$ ， $c o s 50 ° \approx 0.64$ ， $t a n 50 ° \approx 1.2$ ）

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 5 ， B C = \sqrt{21}$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点 $P$ （不写做法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）所作图形中，求 $△ A B P$ 的面积．

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21. 如图， $△ A B C 、 △ A B D$ 内接于 $⊙ O ， A B = B C ， P$ 是 $O B$ 延长线上的一点， $∠ P A B = ∠ A C B$ ， $A C 、 B D$ 相交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A P$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 2 ， D E = 4$ ， $∠ P = 30 °$ ，求 $A P$ 的长．

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22. 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．

(1)、分别求出每件豆笋、豆干的进价；

(2)、某特产店计划用不超过 $10440$ 元购进豆笋、豆干共 $200$ 件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 $\frac{3}{2}$ ，该特产店有哪几种进货方案？

(3)、若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？

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23. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为

12 V

的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡

L

（灯丝的阻值

R_{L} = 2 Ω

）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻

R 、 R_{L}

之间关系为

I = \frac{U}{R + R_{L}}

，通过实验得出如下数据：

$R / Ω$	…	1	$a$	3	4	6	…
$I / A$	…	4	3	2.4	2	$b$	…

(1)、

a =

，

b =

；

(2)、【探究】根据以上实验，构建出函数

y = \frac{12}{x + 2} (x \geq 0)

，结合表格信息，探究函数

y = \frac{12}{x + 2} (x \geq 0)

的图象与性质．

①在平面直角坐标系中画出对应函数 $y = \frac{12}{x + 2} (x \geq 0)$ 的图象；

②随着自变量 $x$ 的不断增大，函数值 $y$ 的变化趋势是 ▲ ．

(3)、【拓展】结合（2）中函数图象分析，当

x \geq 0

时，

\frac{12}{x + 2} \geq - \frac{3}{2} x + 6

的解集为．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0) ， C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上一点，求出 $△ P B C$ 的最大面积及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $M$ 是抛物线对称轴上一动点，点 $N$ 为坐标平面内一点，是否存在以 $B C$ 为边，点 $B 、 C 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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25.

(1)、如图①，在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上取一点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $A$ 落在 $B C$ 上 $A^{'}$ 处，若 $A B = 6 ， B C = 10$ ，求 $\frac{A E}{E B}$ 的值；

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 的 $B C$ 边上取一点 $E$ ，将四边形 $A B E D$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $B$ 落在 $D C$ 的延长线上 $B^{'}$ 处，若 $B C \cdot C E = 24 ， A B = 6$ ，求 $B E$ 的值；

(3)、如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 ° ， A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D ， A D = 10 ， A E = 6$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ，且满足 $∠ D F E = 2 ∠ D A C$ ，直接写出 $B D + \frac{5}{3} E F$ 的值．

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