四川省凉山州2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-15 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数中，为有理数的是（）

A、 $\sqrt[3]{8}$ B、 $3.232232223 \cdot \cdot \cdot$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， ⋯ ， x_{n}$ 的方差为2，则数据 $x_{1} + 3 ， x_{2} + 3 ， x_{3} + 3 ， ⋯ ， x_{n} + 3$ 的方差是（）

A、2 B、5 C、6 D、11

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ C、 ${(2 a^{2} b)}^{3} = 8 a^{6} b^{3}$ D、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$

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5. 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客 $144.6$ 万人次．将数据 $144.6$ 万用科学记数法表示的是（）

A、 $1.446 \times 1 0^{5}$ B、 $1.446 \times 1 0^{6}$ C、 $0.1446 \times 1 0^{7}$ D、 $1.446 \times 1 0^{7}$

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6. 点 $P (2 ， - 3)$ 关于原点对称的点 $P^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， - 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， $∠ 1 = 45 ° ， ∠ 2 = 120 °$ ，则 $∠ 3 + ∠ 4 =$ （）

A、 $165 °$ B、 $155 °$ C、 $105 °$ D、 $90 °$

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8. 分式 $\frac{x^{2} - x}{x - 1}$ 的值为0，则 $x$ 的值是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、0或1

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9. 如图，在 $△ A B F$ 和 $△ D C E$ 中，点E、F在 $B C$ 上， $B E = C F$ ， $∠ B = ∠ C$ ，添加下列条件仍无法证明 $△ A B F ≌ △ D C E$ 的是（）

A、 $∠ A F B = ∠ D E C$ B、 $A B = D C$ C、 $∠ A = ∠ D$ D、 $A F = D E$

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10. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ，分别以点 $A 、$ 点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 为半径画弧，两弧分别交于点 $M$ 和点 $N$ ，连接 $M N$ ，直线 $M N$ 与 $A C$ 交于点 $D$ ，连接 $B D$ ，则 $∠ D B C$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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11. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A ⊥ B C ， ∠ A D B = 30 ° ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $O C =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a - 2 b + c < 0$ C、 $3 a + c = 0$ D、 $a m^{2} + b m + a \leq 0$ （ $m$ 为实数）

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二、填空题

13. 计算 $(π - 3.14)^{0} + \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} =$ ．

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14. 已知 $y^{2} - m y + 1$ 是完全平方式，则 $m$ 的值是．

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15. 如图， $▱ A B C O$ 的顶点 $O 、 A 、 C$ 的坐标分别是 $(0 ， 0) 、 (3 ， 0) 、 (1 ， 2)$ ．则顶点 $B$ 的坐标是．

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16. 不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 的所有整数解的和是．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的中线，将 $△ A C D$ 沿 $C D$ 折叠，当点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处时，恰好 $C A^{'} ⊥ A B$ ，若 $B C = 2$ ，则 $C A^{'} =$ ．

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三、解答题

18. 先化简，再求值： $(2 x + y)^{2} - (2 x + y) (2 x - y) - 2 y (x + y)$ ，其中 $x = {(\frac{1}{2})}^{2023}$ ， $y = 2^{2022}$ ．

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19. 解方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{x^{2} - 1}$ ．

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20. 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用 $A 、 B 、 C 、 D$ 表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．

请根据以上信息回答：

(1)、本次参加抽样调查的游客有多少人？

(2)、将两幅不完整的统计图补充完整；

(3)、若某游客随机选择 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择 $A$ 的概率．

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21. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的 $C 、 E$ 两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且 $A 、 D 、 B 、 F$ 在同一直线上．点 $C$ 、点 $E$ 到 $A B$ 的距离分别为 $C D 、 E F$ ，且 $C D = E F = 7 m ， C E = 895 m$ ，在 $C$ 处测得 $A$ 点的俯角为 $30 °$ ，在 $E$ 处测得 $B$ 点的俯角为 $45 °$ ，小型汽车从点 $A$ 行驶到点 $B$ 所用时间为 $45 s$ ．

(1)、求 $A ， B$ 两点之间的距离（结果精确到 $1 m$ ）；

(2)、若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点 $A$ 行驶到点 $B$ 是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4 ， \sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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22. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ C A B = ∠ A C B$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若 $A B = 10$ ， $A C = 16$ ，求 $O E$ 的长．

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四、填空题

23. 已知 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则 $3 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + 2027$ 的值等于．

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24. 如图，边长为2的等边 $△ A B C$ 的两个顶点 $A 、 B$ 分别在两条射线 $O M 、 O N$ 上滑动，若 $O M ⊥ O N$ ，则 $O C$ 的最大值是．

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五、解答题

25. 凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．

(1)、求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？

(2)、一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？

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26. 阅读理解题：
阅读材料：

如图1，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ A E F$ 是等腰直角三角形，记 $∠ B A E$ 为 $α$ 、 $∠ F A D$ 为 $β$ ，若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

证明：设 $B E = k$ ， ∵ $t a n α = \frac{1}{2}$ ， ∴ $A B = 2 k$ ，

易证 $△ A E B ≌ △ E F C (A A S)$

∴ $E C = 2 k ， C F = k$ ，

∴ $F D = k ， A D = 3 k$

∴ $t a n β = \frac{D F}{A D} = \frac{k}{3 k} = \frac{1}{3}$ ，

若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

同理：若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{2}$ ．

根据上述材料，完成下列问题：

如图2，直线 $y = 3 x - 9$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．将直线 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 后的直线与 $y$ 轴交于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $A M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，过点 $A$ 作 $A N ⊥ y$ 轴于点 $N$ ，已知 $O A = 5$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、直接写出 $t a n ∠ B A M 、 t a n ∠ N A E$ 的值；

(3)、求直线 $A E$ 的解析式．

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27. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ ，垂足为点 $F$ ，点 $P$ 是 $C D$ 延长线上一点， $D E ⊥ A P$ ，垂足为点 $E$ ， $∠ E A D = ∠ F A D$ ．

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $P A = 4 ， P D = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $D E$ 的长．

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28. 如图，已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (1 ， 0)$ 和 $B (- 5 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $y = - 3 x + 3$ 过抛物线的顶点 $P$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、若直线 $x = m (- 5 < m < 0)$ 与抛物线交于点 $E$ ，与直线 $B C$ 交于点 $F$ ．
①当 $E F$ 取得最大值时，求 $m$ 的值和 $E F$ 的最大值；

②当 $△ E F C$ 是等腰三角形时，求点 $E$ 的坐标．

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