四川省自贡市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-15 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图，数轴上点A表示的数是2023， $O A = O B$ ，则点B表示的数是（）

A、2023 B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约 $110000$ 人．人数 $110000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.1 \times 1 0^{4}$ B、 $11 \times 1 0^{4}$ C、 $1.1 \times 1 0^{5}$ D、 $1.1 \times 1 0^{6}$

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3. 如图中六棱柱的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，某人沿路线 $A \to B \to C \to D$ 行走， $A B$ 与 $C D$ 方向相同， $∠ 1 = 128 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $52 °$ B、 $118 °$ C、 $128 °$ D、 $138 °$

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5. 如图，边长为 $3$ 的正方形 $O B C D$ 两边与坐标轴正半轴重合，点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(3 ， - 3)$ B、 $(- 3 ， 3)$ C、 $(3 ， 3)$ D、 $(- 3 ， - 3)$

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6. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列说法正确的是（）

A、甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是 ${S_{甲}}^{2} = 4 ， {S_{乙}}^{2} = 14$ ，则乙的成绩更稳定 B、某奖券的中奖率为 $\frac{1}{100}$ ，买100张奖券，一定会中奖1次 C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D、 $x = 3$ 是不等式 $2 (x - 1) > 3$ 的解，这是一个必然事件

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8. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $B D$ ， $∠ D C A = 41 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $41 °$ B、 $45 °$ C、 $49 °$ D、 $59 °$

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9. 第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角 $∠ A C B = 15 °$ ，算出这个正多边形的边数是（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（）

A、小亮从家到羽毛球馆用了 $7$ 分钟 B、小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 $75$ 米 C、报亭到小亮家的距离是 $400$ 米 D、小亮打羽毛球的时间是 $37$ 分钟

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11. 经过 $A (2 - 3 b ， m) ， B (4 b + c - 1 ， m)$ 两点的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x - b^{2} + 2 c$ （ $x$ 为自变量）与 $x$ 轴有交点，则线段 $A B$ 长为（）

A、10 B、12 C、13 D、15

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12. 如图，分别经过原点 $O$ 和点 $A (4 ， 0)$ 的动直线 $a$ ， $b$ 夹角 $∠ O B A = 30 °$ ，点 $M$ 是 $O B$ 中点，连接 $A M$ ，则 $s i n ∠ O A M$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、填空题

13. 计算： $7 a^{2} - 4 a^{2} =$ ．

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14. 请写出一个比 $\sqrt{23}$ 小的整数．

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15. 化简 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1} =$ .

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16. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是．

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17. 如图，小珍同学用半径为 $8 c m$ ，圆心角为 $100 °$ 的扇形纸片，制作一个底面半径为 $2 c m$ 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 $c m^{2}$ ．

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18. 如图，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线 $y = - \frac{4}{3} x + 2$ 上的一动点，动点 $E (m ， 0) ， F (m + 3 ， 0)$ ，连接 $B E ， D F ， H D$ ．当 $B E + D F$ 取最小值时， $3 B H + 5 D H$ 的最小值是．

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三、解答题

19. 计算： $| - 3 | - (\sqrt{7} + 1)^{0} - 2^{2}$ ．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A D$ 和 $B C$ 上，且 $B F = D E$ ．求证： $A F = C E$ ．

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21. 某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．

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22. 某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．

(1)、补全学生课外读书数量条形统计图；

(2)、请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；

(3)、该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．

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23. 如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， $M$ ， $N$ 分别是斜边 $D E$ ， $A B$ 的中点， $D E = 2 ， A B = 4$ ．

(1)、将 $△ C D E$ 绕顶点 $C$ 旋转一周，请直接写出点 $M$ ， $N$ 距离的最大值和最小值；

(2)、将 $△ C D E$ 绕顶点 $C$ 逆时针旋转 $120 °$ （如图 $2$ ），求 $M N$ 的长．

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24. 如图，点 $A (2 ， 4)$ 在反比例函数 $y_{1} = \frac{m}{x}$ 图象上．一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且 $△ O A C$ 与 $△ O B C$ 的面积比为 $2 ： 1$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、请直接写出 $y_{1} \geq y_{2}$ 时，x的取值范围．

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25. 为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)、测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 $A B ， B C ， C D$ ，山的高度即为三段坡面的铅直高度 $B H ， C Q ， D R$ 之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆 $M N ， M P$ 的一端放在坡面起始端A处，直杆 $M P$ 沿坡面 $A B$ 方向放置，在直杆 $M N$ 另一端N用细线系小重物G，当直杆 $M N$ 与铅垂线 $N G$ 重合时，测得两杆夹角 $α$ 的度数，由此可得山坡AB坡角 $β$ 的度数．请直接写出 $α ， β$ 之间的数量关系．

(2)、测量山高
同学们测得山坡 $A B ， B C ， C D$ 的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为 $24 ° ， 30 ° ， 45 °$ ；为求 $B H$ ，小熠同学在作业本上画了一个含 $24 °$ 角的 $R t △ T K S$ （如图3），量得 $K T \approx 5 c m ， T S \approx 2 c m$ ．求山高 $D F$ ．（ $\sqrt{2} \approx 1.41$ ，结果精确到1米）

(3)、测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于 $M N$ 的顶端，当 $M N$ 与铅垂线 $N G$ 重合时，转动直杆 $N P$ ，使点N，P，D共线，测得 $∠ M N P$ 的度数，从而得到山顶仰角 $β_{1}$ ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角 $β_{2}$ ；画一个含 $β_{1}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $a_{1}$ 厘米， $b_{1}$ 厘米，再画一个含 $β_{2}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $a_{2}$ 厘米， $b_{2}$ 厘米．已知杆高MN为 $1.6$ 米，求山高 $D F$ ．（结果用不含 $β_{1} ， β_{2}$ 的字母表示）

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26. 如图，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + 4$ 与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线解析式及 $B$ ， $C$ 两点坐标；

(2)、以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $D$ 坐标；

(3)、该抛物线对称轴上是否存在点 $E$ ，使得 $∠ A C E = 45 °$ ，若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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