四川省成都市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-15 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

1. 在3， $- 7$ ， 0， $\frac{1}{9}$ 四个数中，最大的数是（）

A、3 B、 $- 7$ C、0 D、 $\frac{1}{9}$

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2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（）

A、 $3 \times 1 0^{8}$ B、 $3 \times 1 0^{9}$ C、 $3 \times 1 0^{10}$ D、 $3 \times 1 0^{11}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(- 3 x)}^{2} = - 9 x^{2}$ B、 $7 x + 5 x = 12 x^{2}$ C、 ${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ D、 $(x - 2 y) (x + 2 y) = x^{2} + 4 y^{2}$

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4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局. 如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（）

A、26 B、27 C、33 D、34

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = B D$ B、 $O A = O C$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $∠ A D C = ∠ B C D$

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6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目. 把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x - 1$ B、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x + 1$ C、 $\frac{1}{2} (x + 1) = x - 4.5$ D、 $\frac{1}{2} (x - 1) = x + 4.5$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + x - 6$ 的图象与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， B两点，下列说法正确的是（）

A、抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ B、抛物线的顶点坐标为 $(- \frac{1}{2} ， - 6)$ C、A，B两点之间的距离为5 D、当 $x < - 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9. 因式分解： $m^{2} - 3 m =$ .

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10. 若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”或“<”）.

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11. 如图，已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若 $B C = 8$ ， $C E = 5$ ，则CF的长为.

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12. 在平面直角坐标系xOy中，点 $P (5 ， - 1)$ 关于y轴对称的点的坐标为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点 $M'$ ；③以点 $M'$ 为圆心，以MN长为半径作弧，在 $∠ B A C$ 内部交前面的弧于点 $N'$ ；④过点 $N'$ 作射线 $D N'$ 交BC于点E. 若 $△ B D E$ 与四边形ACED的面积比为4：21，则 $\frac{B E}{C E}$ 的值为.

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三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14.

(1)、计算： $\sqrt{4} + 2 s i n 45 ° - {(π - 3)}^{0} + | \sqrt{2} - 2 |$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{cases} 2 (x + 2) - x \leq 5 ， ① \\ \frac{4 x + 1}{3} > x - 1 . ② \end{cases}$

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15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴. 成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的师生共有 ▲ 人，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；

(3)、该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.

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16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据： $s i n 16 ° ≈ 0.28$ ， $c o s 16 ° ≈ 0.96$ ， $t a n 16 ° ≈ 0.29$ ）

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17. 如图，以 $△ A B C$ 的边AC为直径作 $⊙ O$ ，交BC边于点D，过点C作 $C E ∥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点E，连接AD，DE， $∠ B = ∠ A D E$ .

(1)、求证： $A C = B C$ ；

(2)、若 $t a n B = 2$ ， $C D = 3$ ，求AB和DE的长.

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = - x + 5$ 与y轴交于点A，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的一个交点为 $B (a ， 4)$ ，过点B作AB的垂线l.

(1)、求点A的坐标及反比例函数的表达式；

(2)、若点C在直线l上，且 $△ A B C$ 的面积为5，求点C的坐标；

(3)、P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画 $△ P D E$ ，使它与 $△ P A B$ 位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.

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四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19. 若 $3 a b - 3 b^{2} - 2 = 0$ ，则代数式 $(1 - \frac{2 a b - b^{2}}{a^{2}}) \div \frac{a - b}{a^{2} b}$ 的值为.

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20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个.

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21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出. 该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳名观众同时观看演出.（ $π$ 取3.14， $\sqrt{3}$ 取1.73）

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， CD平分 $∠ A C B$ 交AB于点D，过D作 $D E ∥ B C$ 交AC于点E，将 $△ D E C$ 沿DE折叠得到 $△ D E F$ ， DF交AC于点G.若 $\frac{A G}{G E} = \frac{7}{3}$ ，则 $t a n A =$ .

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23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且 $m - n > 1$ ，则称这个正整数为“智慧优数”.例如， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ， 16就是一个智慧优数，可以利用 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ 进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

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五、解答题（本大题共3个小题，共30分）

24. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行. “当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃. 已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.

(1)、求A，B两种食材的单价；

(2)、该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.

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25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过点 $P (4 ， - 3)$ ，与y轴交于点 $A (0 ， 1)$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与抛物线交于B，C两点.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若 $△ A B P$ 是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；

(3)、过点 $M (0 ， m)$ 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得 $O D ⊥ O E$ 始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.
在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， D是AB边上一点，且 $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{n}$ （n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.

(1)、【初步感知】
如图1，当 $n = 1$ 时，兴趣小组探究得出结论： $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ，请写出证明过程.

(2)、【深入探究】
①如图2，当 $n = 2$ ，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.

(3)、【拓展运用】
如图3，连接EF，设EF的中点为M. 若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）.

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