江苏省泰州市兴化市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-06-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $m^{6} \div m^{3} = m^{2}$ B、 ${(m^{3})}^{2} = m^{5}$ C、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$ D、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{5}$

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2. 如图，为估计池塘岸边 $A$ 、 $B$ 两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点 $O$ ，测得 $O A = 20$ 米， $O B = 15$ 米， $A$ 、 $B$ 间的距离不可能是（）

A、5米 B、15米 C、20米 D、25米

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3. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）

A、∠3=∠4 B、∠1=∠2 C、∠D=∠DCE D、∠D+∠DCA=180°

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4. 如图，铅笔放置在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上，笔尖方向为点 $A$ 到点 $B$ 的方向，把铅笔依次绕点 $A$ 、点 $C$ 、点 $B$ 按逆时针方向旋转 $∠ A$ 、 $∠ C$ 、 $∠ B$ 的度数后，笔尖方向变为点 $B$ 到点 $A$ 的方向，这种变化说明（）

A、三角形任意两边之和大于第三边 B、三角形外角和等于 $360 °$ C、三角形内角和等于 $180 °$ D、三角形任意两边之差小于第三边

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5. 已知方程组 ${\begin{matrix} x - y = 3 \\ 2 x - 3 y + k = 0 \end{matrix}$ 的解也是方程 $x + y = 5$ 的解，则 $k$ 的值是（）

A、 $k = 5$ B、 $k = - 5$ C、 $k = - 10$ D、 $k = 10$

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6. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ $\sum$ ”．如记 $\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + (n - 1) + n$ ， $\sum_{k = 3}^{n} (x + k) = (x + 3) + (x + 4) + \cdot \cdot \cdot + (x + n)$ ；
已知 $\sum_{k = 2}^{n} [(x + k) (x - k + 1)] = 4 x^{2} + 4 x + m$ ，则m的值是（）

A、40 B、-70 C、-40 D、-20

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二、填空题

7. 计算 $x^{5} \cdot x =$ ．

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8. 流感病毒的直径约为0.00000072m，其中0.00000072用科学记数法可表示为．

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9. 一个多边形的每个外角都等于 $45 °$ ，则这个多边形是边形.

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10. 在△ABC中，若∠C＝50°，∠B－∠A＝100°，则∠B的度数为.

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11. 若有理数 $m$ 使得二次三项式 $x^{2} + m x + 16$ 能用完全平方公式因式分解，则 $m =$ ．

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12. 已知二元一次方程 $2 x - 3 y + 5 = 0$ 的一组解为 ${\begin{array}{l} x = a \\ y = b \end{array}$ ，则 $3 - 4 a + 6 b =$ ．

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13. 某公园的门票价格为：成人票8元/张，儿童票3元/张．现有 $x$ 名成人， $y$ 名儿童，买门票共花了44元．则 $x$ 、 $y$ 的值分别为．

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14. 如图，将一张长方形纸片沿 $E F$ 折叠后，点 $D$ 、 $C$ 分别落在点 $D^{'}$ 、 $C^{'}$ 的位置， $E D^{'}$ 的延长线与 $B C$ 相交于点 $G$ ，若 $∠ E F G = 70 °$ ，则 $∠ 1 =$ ．

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15. 如图， $△ A B C$ 的中线 $A D$ 、 $B E$ 相交于点 $F$ ，若四边形 $C E F D$ 的面积为2，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. 如图，已知 $∠ M O N = 60 °$ ，点 $A$ 在射线 $O M$ 上运动，点 $B$ 在射线 $O N$ 上运动． $∠ M A B$ 和 $∠ A B N$ 的角平分线交于点 $E$ ， $C$ 、 $D$ 分别为 $A E$ 、 $B E$ 上的点， $∠ A C D$ 和 $∠ B D C$ 的角平分线交于点 $F$ ．若点A、B在运动过程中，存在 $△ C D F$ 中有一个角是另一个角的2倍，则 $∠ D C F$ 的度数为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $- 1^{2023} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(π - 2)}^{0}$ ；

(2)、 $a^{3} \cdot a^{5} - {(2 a^{4})}^{2} + a^{10} \div a^{2}$ ．

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18. 分解因式：

(1)、 $4 a^{2} - 9$ ；

(2)、 $x^{3} - 4 x^{2} y + 4 x y^{2}$ ．

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19. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x + 4 y = 5 \\ x = 1 - y \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 y = 4 \\ 2 x - 3 y = - 5 \end{array}$

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20. 先化简，再求值： $(a + b) (a - b) - {(a - b)}^{2} + 2 b^{2}$ ，其中 $a = - 3 ， b = \frac{1}{2}$ ．

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21. 如图，网格中每个小正方形边长为1， $△ A B C$ 的顶点都在格点（网格线的交点）上．将 $△ A B C$ 向上平移5格，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，利用网格画图．

⑴请在图中画出平移后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

⑵作 $B C$ 边上的高线 $A D$ ，垂足为 $D$ ；

⑶画 $A C$ 边上的中线 $B E$ ；

⑷ $B C$ 边在平移的过程中扫过的面积等于．

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22. 若a^m=aⁿ（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：

(1)、若3^x×9^x×27^x=3¹² ，求x的值．

(2)、若x=5^m-3，y=4-25^m ，用含x的代数式表示y．

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23. 已知：如图， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ， $∠ C = ∠ D$ ．

(1)、求证： $A C ∥ D F$ ；

(2)、若 $∠ A = 40 °$ ， $∠ 1 = 60 °$ ，求 $∠ D$ 的度数．

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24.

(1)、填空：
$2^{1} - 2^{0} = 2^{()}$

$2^{2} - 2^{1} = 2^{()}$

$2^{3} - 2^{2} = 2^{()}$

$⋮$

(2)、探索（1）中式子的规律，试写出第 $n$ 个等式，并说明第 $n$ 个等式成立；

(3)、计算 $2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{2023}$ ．

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25. 探究与运用：

(1)、【原题再现】课本第42页有这样一道题：如图1，将 $△ A B C$ 纸片沿 $D E$ 折叠，使点A落在四边形 $B C D E$ 内点 $A^{'}$ 的位置．试探索 $∠ A$ 与 $∠ 1 + ∠ 2$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2)、【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形 $B C D E$ 内点 $A^{'}$ 的位置”变为“点A落在四边形 $B C D E$ 外点 $A^{'}$ 的位置”，试猜想此时 $∠ A$ 与 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、【结论运用】
图1中，连接 $B A^{'}$ 、 $C A^{'}$ ，若 $B A^{'}$ 、 $C A^{'}$ 分别平分 $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ ，且 $∠ B A^{'} C = 115 °$ ，如图3，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 的度数为．

(4)、图2中，连接 $C A^{'}$ 、 $B A^{'}$ ，若 $C A^{'}$ 平分 $∠ A C B$ ， $B A^{'}$ 平分 $∠ A B C$ 的外角，若 $∠ 1 = 108 °$ ， $∠ 2 = 148 °$ ，如图4，则 $∠ B A^{'} C$ 的度数为．

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26. 同一图形的面积用不同方式表示，可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法，我们称之为“面积法”．如图1，我们在学习完全平方公式时，用“面积法”，即用两种方法表示大正方形的面积，得到了等式 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．

(1)、图2是由两个边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的直角三角形和一个两条直角边都是 $c$ 的直角三角形拼成，试用“面积法”计算这个图形的面积，得到 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 之间的等量关系式为，请说明理由；

(2)、试用上面的结论，解决下面的问题：
①在直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，三边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a + b = 14$ ， $a b = 48$ ，求 $c$ 的值；

②如图3，五边形 $A B C D E$ 中，线段 $A C ⊥ B D$ ， $A C = B D = 4$ ，四边形 $A O D E$ 为长方形，在直角 $△ B O C$ 中， $O B = x$ ， $O C = y$ ，其周长为 $n$ ，当 $n$ 为何值时，长方形 $A O D E$ 的面积为定值，并说明理由．

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