浙江省舟山市2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-06-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，为无理数的是（）

A、 $- \frac{32}{7}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、3.5

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2. 下列计算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 ${(- a b^{2})}^{2} = - a^{2} b^{4}$ C、 $a^{3} \div a^{2} = a$ D、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$

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3. 若 $a < b$ ，下列各式中一定成立的是（）

A、 $a m > b m$ B、 $\frac{a}{m} < \frac{b}{m}$ C、 $(1 + m^{2}) a < (1 + m^{2}) b$ D、 $1 - a < 1 - b$

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4. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 4 ， 2) ， B (- 6 ， - 4)$ ，以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，把 $△ A B O$ 缩小，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(- 8 ， 4)$ 或 $(8 ， - 4)$ D、 $(- 2 ， 1)$ 或 $(2 ， - 1)$

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5. 某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（）

A、定海区明天下雨的可能性较大 B、定海区明天下雨的可能性较小 C、定海区明天将有85%的时间下雨 D、定海区明天将有85%的地区下雨

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6. 如图，在 $∠ M O N$ 的两边上分别截取 $O A$ 、 $O B$ ，使 $O A = O B$ ；分别以点A、B为圆心， $O A$ 长为半径作弧，两弧交于点C；连接 $A C$ 、 $B C$ 、 $A B$ 、 $O C$ ．若 $A B = 2 cm$ ，四边形 $A O B C$ 的面积为 $8 c m^{2}$ ．则 $O C$ 的长为（）

A、 $5 cm$ B、 $8 cm$ C、 $10 cm$ D、 $4 cm$

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7. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指（）

A、S_矩形ABMN＝S_矩形MNDC B、S_矩形EBMF＝S_矩形AEFN C、S_矩形AEFN＝S_矩形MNDC D、S_矩形EBMF＝S_矩形NFGD

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8. 如图，一次函数 $y_{1} = x - 1$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (2 ， m)$ ， $B (n ， - 2)$ ，当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < - 1$ 或 $x > 2$ B、 $x < - 1$ 或 $0 < x < 2$ C、 $- 1 < x < 0$ 或 $0 < x < 2$ D、 $- 1 < x < 0$ 或 $x > 2$

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9. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $A C$ 折叠，使点B落在点E处，连接 $D E$ ，若 $D E ： A C = 3 ： 5$ ，则 $\tan ∠ A C D$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知函数 $y = x^{2} - 4 a x + 5$ （a为常数），当 $x \geq 4$ 时，y随x增大而增大． $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 是该函数图象上的两点，对任意的 $2 a - 1 \leq x_{1} \leq 5$ 和 $2 a - 1 \leq x_{2} \leq 5$ ， $y_{1} ， y_{2}$ 总满足 $y_{1} - y_{2} \leq 5 + 4 a^{2}$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq a \leq 2$ B、 $1 \leq a \leq 2$ C、 $2 \leq a \leq 3$ D、 $2 \leq a \leq 4$

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二、填空题

11. 因式分解： $2 x^{2} - 2 x =$ ．

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12. 在一次科学课上，小明同学设计了如下电路图，随机闭合两个开关，能使其中1个灯泡发亮的概率为．

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13. 如图，A、B、C为 $⊙ O$ 上三点，若 $∠ O A B ＝ 20 °$ ，则 $∠ A C B$ 度数为°．

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 9 ， A C = 6$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $A E = 3$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，连接 $E F$ ．若 $△ A E F ∽ △ A C B$ ，则 $A F =$ ．

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15. 把量角器和含 $30 °$ 角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点E， $O C = 2 cm$ ， $∠ B O F = 120 °$ ．则阴影部分的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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16. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D 、 E$ 分别为边 $B C 、 A B$ 上的动点，运动过程中始终保持 $B D = 2 A E$ ．连结 $D E$ ，在 $D E$ 右侧作等边三角形 $D E F$ ，并连结 $A F$ ．

(1)、当 $D E ⊥ B C$ 时，若 $A B = 10$ ，则 $D E =$ ．

(2)、在点 $E$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 的过程中，若 $A F$ 的最小值为 $3$ ，则 $△ A B C$ 边长是．

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三、解答题

17.

(1)、计算： $- 2^{2} + 2 \sin 60 ° + {(\sqrt{3} - π)}^{0}$

(2)、化简： $(x + y) (x - y) + y (y - 2)$

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18. 观察： $\frac{1}{2} < \frac{1 + 1}{2 + 1}$ ， $\frac{1}{3} < \frac{1 + 1}{3 + 1}$ ， $\frac{3}{4} < \frac{3 + 1}{4 + 1}$ ， $\frac{4}{7} < \frac{4 + 1}{7 + 1}$ ．

(1)、猜想：当 $0 < b < a$ 时， $\frac{b}{a}$ $\frac{b + 1}{a + 1}$ ， $\frac{b}{a}$ $y = 1$ ， $\frac{b}{a}$ $\frac{b + 3}{a + 3}$ （“>”“＝”“<”填空）

(2)、探究：当 $0 < b < a$ 时， $\frac{b}{a}$ 与 $\frac{b + n}{a + n}$ （其中n为正整数）的大小关系，并说明理由．

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19. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．

(1)、y是关于x的函数吗？为什么？

(2)、请说明点D的实际意义．

(3)、根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．

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20. 为了解我国铁路旅客发送量和货运总发送量，小明同学在中华人民共和国交通运输部网上查询到2022年7月到2023年2月，全国铁路旅客发送量和货运总发送量的数据，并绘制了如下的折线统计图．

根据图表信息，回答下列问题：

(1)、2022年12月至2023年1月的旅客发送量的增长率为．

(2)、估计从2023年3月到2023年12月，10个月的货运总发送量，小明选用了平均数来分析，小军选用众数来分析．
①请从小明和小军两个选用的统计量分别估计货运总发送量．

②分别说明两种的合理性，请通过计算说明．

(3)、请结合折线统计图，对2022年7月至2023年2月我国旅客发送量和货运总发送量，并结合实际情况你还可以得到什么信息？

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点D作 $D E ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点E，连接 $A E$ 交 $C D$ 于点F．

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是矩形；

(2)、连接 $B F$ ，若 $∠ A B C = 60 °$ ， $C E = 2$ ，求 $B F$ 的长．

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22. “五一”节期间，洞庭湖旅游度假区特色文旅活动精彩上演，吸引众多市民打卡游玩，许多露营爱好者在大烟囱草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 $A B$ ，用绳子拉直 $A D$ 后系在树干 $E F$ 上的点 $E$ 处，使得 $A$ ， $D$ ， $E$ 在一条直线上，通过调节点 $E$ 的高度可控制“天幕”的开合， $A C = A D = 2 m$ ， $B F = 2.5 m$ ．

(1)、天晴时打开“天幕”，若 $∠ α = 70 °$ ，求遮阳宽度 $C D$ （结果精确到0.1m）；

(2)、下雨时收拢“天幕”， $∠ α$ 从 $70 °$ 减少到 $45 °$ ，求点 $E$ 下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ， $t a n 70 ° \approx 2.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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23. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）经过点 $A (1 ， 0)$ ，点B $(0 ， 3)$ ．点P在此抛物线上，其横坐标为m．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、若 $- 1 \leq x \leq d$ 时， $- 1 \leq y \leq 8$ ，则d的取值范围是．

(3)、点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．

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24. 如图1，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B ⊥ C D$ 于点F，点E为 $⊙ O$ 上一点，点C为弧 $A E$ 的中点，连接 $A E$ ，交 $C D$ 于点G．

(1)、求证： $A E = C D$ ；

(2)、如图2，过点C作 $⊙ O$ 的切线交BA的延长线于点Q，若 $A F = 2$ ， $A E = 8$ ，求 $O Q$ 的长度；

(3)、在（2）的基础上，点P为 $⊙ O$ 上任一点，连接 $P F 、 P Q$ ， $\frac{P F}{P Q}$ 的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．

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