陕西省西安市阎良区2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-06-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{4}{5}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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2. 如图所示，将直尺与含 $60 °$ 角的直角三角板叠放在一起，若 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $30 °$

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3. 如图，数轴上两点 $M$ ， $N$ 所对应的实数分别为 $a$ ， $b$ ，则 $b - a$ 的结果可能是（）

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、 $2$ D、 $3$

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4. 计算 ${(3 m^{2} n)}^{- 2}$ 正确的结果是（）

A、 $\frac{1}{9 m^{4} n^{2}}$ B、 $- \frac{1}{9 m^{4} n^{2}}$ C、 $9 m^{4} n^{2}$ D、 $- 9 m^{4} n^{2}$

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $C D$ 、 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 、 $B F$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $B E$ ， $B F$ 的中点，则 $M N$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 、 $C D$ 是互相平行的弦，连接 $B C$ 、 $B O$ 、 $D O$ ，若 $∠ B O D = 90 °$ ．则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、40° B、90° C、50° D、45°

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二、解答题

7. 若抛物线 $L ： y = x^{2} + (b - 1) x - 3$ 与抛物线 $L^{'} ： y = x^{2} - 10 x + 3 c$ 关于直线 $x = 2$ 对称，则 $b - c$ 的值为（）

A、3 B、7 C、 $- 4$ D、4

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三、填空题

8. 在实数 $\frac{1}{3}$ 、 $π$ 、0、 $\sqrt{5}$ 中，无理数有个．

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9. 如图， $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(- 2 ， 1)$ ， $(0 ， - 1)$ ．若将线段 $A B$ 平移至 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标分别为 $(a ， 3)$ ， $(3 ， b)$ ，则 $a + b$ 的值为．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上，过点 $E$ 作 $A C$ 的垂线 $D E$ ，连接 $A D$ ，若 $A D ⊥ A B$ ， $A D = A B$ ， $B C = 3$ ， $D E = 7$ ，则 $C E$ 的长为．

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11. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大意为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为平方步．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴、y轴正半轴上的点，连接AB，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过线段AB的中点C，若 $S_{△ O A B} = 12$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别在边 $A D$ ， $A B$ 上，连接 $P Q$ ，点 $A$ 关于 $P Q$ 的对称点 $A^{'}$ 在线段 $B C$ 上，则 $D P$ 的最大值为．

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四、解答题

14. 计算： $2 sin 60 ° - 1^{2003} - | 1 - \sqrt{3} |$ ．

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15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 2 (x - 1) \leq 4 \\ \frac{1 - x}{2} > 1 - \frac{2 x + 1}{3} \end{array}$ ，并把解集表示在数轴上．

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16. 解下列分式方程： $\frac{1}{3} - \frac{2}{2 x - 1} = \frac{1}{6 x - 3}$ ．

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ．请用尺规作图法在 $A H$ 上求作一点 $P$ ，使 $S_{△ P B C} = \frac{1}{4} S_{▱ A B C D}$ （不写作法，保留作图痕迹）

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18. 如图， $E$ 是 $▱ A B C D$ 的边 $A B$ 的中点，连接 $E C$ 、 $E D$ ，且 $E C = E D$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

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19. 如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如： $4 = 2^{2} - 0^{2}$ ， $12 = 4^{2} - 2^{2}$ ．

(1)、请你将20表示为两个连续非负偶数的平方差形式： $20 =$ ；

(2)、试证明“神秘数”能被4整除．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 12 ， ∠ C = 45 ° ， ∠ B = 120 °$ ，求BC的长．

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21. 中国－中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，让千年古都再次聚焦世界的目光，也让每一个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球，将其搅匀．这些小球除汉字不同外其它都相同．

(1)、若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为；

(2)、从袋中任取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．（汉字不分先后顺序）

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22. 西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度 $D E$ ．如图，他拿着一根笔直的小棍 $B C$ ，站在距城墙约30米的点N处（即 $E N = 30$ 米），把手臂向前伸直且让小棍 $B C$ 竖直， $B C ∥ D E$ ，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长 $C M$ 约为60厘米，小棍 $B C$ 的长为24厘米， $A N ⊥ E N$ ， $C M ⊥ A N$ ， $D E ⊥ E N$ ，求城墙的高度 $D E$ ．

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23. “盛唐密盒”的即兴表演和互动深度融合了中国的历史文化知识，让观众在互动答题的同时，也普及了传统文化知识，也显得更加“中国”，深受广大游客的喜欢．为弘扬中华优秀传统文化，某校学生处进行了《传统文化知识》5题问答测试，随机抽取了部分学生的答题情况，并把答对题数分别制成如下的统计表和扇形统计图．

答对题数

0

1

2

3

4

5

人数（人）

1

2

5

$m$

3

1

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(1)、表中 $m =$ ，所抽取学生答对题数的中位数是题，众数是题；

(2)、求所抽取学生答对题数的平均数；

(3)、若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生答对5题的人数．

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24. 近年来，我国着力促进教育公平，提升教育质量，加快推进教育现代化、建设教育强国、办好人民满意的教育，教育数字化工作持续推进、成果丰硕．在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑．某教育科技公司销售 $A$ ， $B$ 两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示：

A

B

进价（万元/套）

3

2.4

售价（万元/套）

3.3

2.8

该教育科技公司计划购进 $A$ ， $B$ 两种多媒体设备共 $50$ 套，设购进 $A$ 种多媒体设备x套，利润为y万元

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、若公司要求购进 $B$ 种多媒体设备的数量不超过 $A$ 种多媒体设备的 $4$ 倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进 $A$ 种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $E$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，且 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A D}$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $C F ∥ B D$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $B F = 1$ ，求 $B E$ 的长．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于 $C$ 点．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标；

(2)、点 $Q$ 在坐标平面内，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是以 $O C$ 为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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27.

(1)、问题提出
如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值；

(2)、问题探究
如图2，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $A B$ 上，连接 $A E$ 、 $D F$ ，且 $A E ⊥ D F$ ．求证： $\frac{A E}{D F} = \frac{A B}{D A}$ ；

问题解决

(3)、问题探究
如图3，某地有一足够大的空地，现想在这片空地上修建一个平行四边形状的休闲区 $A B C D$ ，其中 $A B = 600 m$ ，点 $E$ 、 $F$ 、 $M$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 、 $A D$ 上，管理部门欲从 $D$ 到 $E$ 、 $M$ 到 $F$ 分别修建小路，两条小路 $D E$ 、 $M F$ 交汇于点 $O$ ，且满足 $∠ B A D = ∠ E O F$ ， $\frac{M F}{E D} = \frac{3}{5}$ ，为使美观现要沿平行四边形 $A B C D$ 的四条边修建绿化带（宽度忽略不计），求所修绿化带的长度（ $▱ A B C D$ 的周长）．

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答对题数	0	1	2	3	4	5
人数（人）	1	2	5	$m$	3	1

	A	B
进价（万元/套）	3	2.4
售价（万元/套）	3.3	2.8