江苏省苏州市吴中、吴江、相城区2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-06-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个实数中最大的是（）

A、-2 B、 $\sqrt{3}$ C、-1 D、 $\frac{1}{3}$

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2. 苏州围绕打造“处处皆景、城在园中”的“公园城市”目标，扎实推进民生实事项目口袋公园建设.2022年全年苏州各级园林绿化部门共投入资金145000000元进行新建、改建口袋公园，为市民打造更多家门口的幸福.145000000用科学记数法可以表示为（）

A、 $1.45 \times 10^{9}$ B、 $14.5 \times 10^{7}$ C、 $1.45 \times 10^{8}$ D、 $0.145 \times 10^{9}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a - a = 3$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(- a^{3} b)}^{2} = a^{6} b^{2}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ， $B C = 6$ ，按以下步骤作图：第一步，一点 $A$ 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于 $M$ 、 $N$ 两点；第二步，分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $P$ ；第三步，作射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．则 $A E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{55}$ B、8 C、 $\sqrt{73}$ D、10

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5. 为激励青少年爱读书、读好书、善读书，某校积极开展全员阅读活动．小吴为了了解本班同学一月的课外阅读量，随机选取班上部分同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图）下列说法中，正确的是（）

A、随机选取了14名同学 B、中位数是2本 C、众数是4本 D、平均数是2.4本

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，现有一小球可在 $⊙ O$ 内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（）

A、 $\frac{4}{π}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{π}$ C、 $\frac{2}{π}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{π}$

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7. 定义：两个不相交的函数图象在平行于 $y$ 轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线 $y = 2 x^{2} - 5 x + 3$ 与直线 $y = - 2 x - 1$ 的“完美距离”为（）

A、 $\frac{23}{8}$ B、3 C、 $\frac{27}{8}$ D、 $\frac{21}{8}$

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8. 如图1，点 $E$ 为矩形 $A B C D$ 中 $A D$ 边的中点，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to E \to B$ 以 $2 cm / s$ 的速度运动到点 $B$ ，图2是点 $P$ 运动时， $△ PBC$ 的面积 $y ({cm}^{2})$ 随时间 $t (s)$ 变化的函数图象，则 $a$ 的值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

9. 计算： $| - \frac{2}{5} | =$ ．

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10. 要使代数式 $\frac{\sqrt{x - 4}}{2}$ 有意义，则 x 的取值范围是．

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11. 若 $x = \sqrt{2} - 1$ ，则 $x^{2} + 2 x + 1$ = ．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $D$ ，连接 $B D$ ．若 $∠ A = 34 °$ ， $∠ A E D = 87 °$ ，则 $∠ B =$ ．

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13. 已知圆锥底面圆直径为 $18 cm$ ，母线长为 $15 cm$ ，该圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为 $°$ ．

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14. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (a + 4) x + 3 a + 3 = 0$ 有一个大于 $- 2$ 的非正数根，那么实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 如图，直线 $A B$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ ，已知点 $C$ 坐标为 $(3 ， 0)$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ （不与点A ， $B$ 重合）上一点，连接线段 $P C$ ， $P O$ ．若 $∠ C P O = 45 °$ ，则点 $P$ 坐标为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，以 $A C$ 为边在 $△ A B C$ 下方作 $△ A D C$ ，连接 $B D$ ，已知 $A D = 3$ ， $D C = 6$ ，则 $B D$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{4} + 2 cos 30 ° - {(π - 1)}^{0}$ ．

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18. 解方程 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x^{2} - 1}$ .

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19. 已知 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，求 $\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{2} - x (x + 1)$ 的值．

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20. 为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“ $A$ ：步行， $B$ ：骑自行车， $C$ ：乘坐公共交通， $D$ ：家用汽车接送， $E$ ：其他方式”．五个选项中进行选择．

(1)、学生甲随机选择“ $C$ ：乘坐公共交通”方式的概率为．

(2)、若两名学生分别从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五种上学方式中随机选择一种，求两名学生一人选择“ $A$ ：步行”，另一人选择“ $C$ ：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．

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21. 如图， $A D$ ， $B C$ 交于点 $E$ ， $A C = B D$ ， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ．

(1)、求证： $△ A C E ≌ △ B D E$ ；

(2)、若 $∠ C A E = 26 °$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．

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22. 适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义．为了解八年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间 $t$ （单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

组别

家务劳动总时间分组

频数

$A$

$t < 6$

5

$B$

$6 \leq t < 7$

7

$C$

$7 \leq t < 8$

10

$D$

$8 \leq t < 9$

19

$E$

$t \geq 9$

$a$

请根据图表信息回答下列问题：

(1)、频数分布表中， $a =$

(2)、扇形统计图中， $C$ 组所在扇形的圆心角的度数是 $°$ ．

(3)、请估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数．

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23. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图像经过边长为4的正方形 $A B C D$ 的顶点A ，与正方形的边 $C D$ 交于点 $E$ ，且 $E C = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若点 $P$ 是正方形 $C D$ 边上不与点 $E$ 重合的点，连接 $A E$ ， $A P$ ，当 $△ A P E$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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24. 为迎接五一假期的到来，某景区一商户准备了两种当地特产礼盒，按成本价1件A种礼盒和2件 $B$ 种礼盒共需320元，2件A种礼盒和3件 $B$ 种礼盒共需540元．

(1)、求A、 $B$ 两种礼盒每件的成本价分别是多少元？

(2)、若 $A$ 种礼盒的售价为每件150元， $B$ 种礼盒的售价为每件120元．商户原计划在五一当天将现有的 $A$ 、 $B$ 两种礼盒共56件按售价全部售出，但在实际销售过程中56件商品没有全部售完，两种礼盒的实际销售利润总和为1320元．五一当天商户最多卖出 $B$ 种礼盒多少件？

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25. 如图，已知 $A B$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，直径 $C D$ 平分 $∠ A C E$ ， $∠ A C E$ 的一边 $C E$ 与 $⊙ O$ 和直径 $A B$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B E$ ，且 $A C = A F$ ．

(1)、证明： $B E ∥ C D$ ；

(2)、若 $C F = 2$ ，求 $B F$ 的长．

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26. 如图，拋物线 $y = x^{2} + 4 a x + 3 a$ （a是常数且 $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 位于点 $B$ 右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为拋物线的顶点，且点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ， $C D$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若点 $P$ 为抛物线上的点，连接 $C P$ ，当 $∠ A C O = ∠ P C B$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若在 $x$ 轴上总存在一点 $Q$ ，且点 $Q$ 的横坐标为 $m (m > - 3)$ ，当 $∠ D C B < ∠ Q C B < ∠ C A O$ 时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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27.

(1)、【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：

如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $D C$ ， $B C$ 上的点，连接 $A E$ ， $D F$ ，且 $A E ⊥ D F$ 于点 $G$ ，若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求 $\frac{D F}{A E}$ 的值．

请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．

(2)、【初步运用】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\frac{A B}{A C} = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，求 $\frac{A F}{B D}$ 的值．

(3)、【灵活运用】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $\frac{A B}{A D} = \frac{3}{4}$ ， $A B = B C$ ， $A D = C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上，且 $D E ⊥ C F$ ，垂足为 $G$ ，则 $\frac{C F}{D E} =$ ．

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组别	家务劳动总时间分组	频数
$A$	$t < 6$	5
$B$	$6 \leq t < 7$	7
$C$	$7 \leq t < 8$	10
$D$	$8 \leq t < 9$	19
$E$	$t \geq 9$	$a$