黑龙江省龙东地区2023年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-06-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列计算中，正确的是（）

A、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 6 x^{6}$ D、 ${(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知一组数据2，a ， 4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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4. 如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从左面、上面看到的形状图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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5. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 $1280$ 元降为 $720$ 元．已知两次降价的百分率都是 $x %$ ，则x的值是（）

A、 $25 %$ B、25 C、 $20 %$ D、20

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6. 已知关于x的分式方程 $\frac{k}{x + 1} - 1 = \frac{x + k}{1 - x}$ 的解为负数，则k的取值范围是（）

A、 $k > - \frac{1}{2}$ B、 $k < - \frac{1}{2}$ 且 $k \neq - 1$ C、 $k < - \frac{1}{2}$ D、 $k > - \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 0$

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7. 装乒乓球的盒子有两种，大盒装6个，小盒装4个，若将50个乒乓球都装进盒子且把每个盒子都装满，那么不同的装球方法有（）

A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

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8. 如图，A是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图象上一点，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点D ，且D为线段 $A B$ 的中点．若C为x轴上任意一点，且 $△ A B C$ 的面积为11，则k的值为（）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $- 11$ C、11 D、 $\frac{11}{2}$

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C = A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，作 $D E ⊥ A C$ 于点E ， $D E = 8$ ，连接 $B E$ ， $B E = B C$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、10 B、8 C、6 D、4

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在边 $C D$ 上，点H在边 $A D$ 上， $C E = D H$ ， $C H$ 交 $B E$ 于点F ，交 $B D$ 于点G ，连接 $G E$ ．下列结论：① $C H = B E$ ；② $C H ⊥ B E$ ；③ $S_{△ G C E} = S_{△ G D H}$ ；④当E是 $C D$ 的中点时， $\frac{G F}{G E} = \frac{4}{5}$ ；⑤当 $E C = 2 D E$ 时， $S_{正方形 A B C D} = 6 S_{正方形 D E G H}$ ．其中正确结论的序号是（）

A、①②③④ B、①②③⑤ C、①③④⑤ D、②①⑤

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二、填空题

11. 据统计，我国每年浪费粮食约是35000000吨，将35000000用科学记数法表示为．

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12. 函数 $y = \frac{3}{\sqrt{x - 1}}$ 的自变量x的取值范围是．

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13. 如图， $A B$ 与 $O M$ 相交于点A ，与 $O N$ 相交于点B ， $O P ⊥ A B$ ，垂足为P ，添加一个条件，使 $△ A O P$ ≌ $△ B O P$ （填一个即可）．

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14. 随机掷一枚均匀的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数小于3的概率是．

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15. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 - x}{2} > \frac{2 x - 4}{3} \\ - 3 x > - 2 x - a \end{array}$ 的解集是 $x < 2$ ，则a的取值范围是．

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16. 已知 $△ A B C$ 是半径为2cm的圆的内接三角形， $B C = 2 \sqrt{3} cm$ ，则 $∠ A =$ ．

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17. 已知圆锥的母线长为 $5 c m ，$ 高为 $4 c m ，$ 则该圆锥侧面展开图的圆心角是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ， $B D ⊥ A C$ 交 $A C$ 于点D ， P为线段 $B D$ 上的动点，则 $P C + \frac{1}{2} P B$ 的最小值为．

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19. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ， M是直线 $B C$ 上的一点，将 $△ D C M$ 沿 $D M$ 折叠，得到 $△ D E M$ ，连接 $A E$ ，若 $A E = A B$ ，则 $C M$ 的长为．

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20. 如图，射线 $O D$ 与x轴所夹的锐角为 $30 °$ ， $O A_{1}$ 的长为1， $△ A_{1} A_{2} B_{1}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{2}$ ， $△ A_{3} A_{4} B_{3}$ ， …， $△ A_{n} A_{n + 1} B_{n}$ 均为等边三角形，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{n + 1}$ 在x轴的正半轴上依次排列，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …， $B_{n}$ 在射线 $O D$ 上依次排列，那么点 $B_{2023}$ 的坐标为．

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三、解答题

21. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1} \div (\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x})$ ，其中 $x = 2 \sin 45 ° + 1$ ．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3 ， 5)$ ， $B (- 2 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 3)$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 经过平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，已知点 $C_{1}$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、将 $△ A B C$ 绕着点O按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $C_{2}$ 的坐标；

(3)、求出（2）中点A旋转到点 $A_{2}$ 所经过的路径长．

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23. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 经过点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (- 3 ， 0)$ ，与y轴交于点C ， P为第二象限内抛物线上一点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，连接 $P O$ 交直线 $B C$ 于点D ，当 $\frac{P D}{D O} = \frac{1}{2}$ 时，直接写出点P的横坐标．

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24. 为了解七年级同学最喜欢看哪一类课外书，某校随机抽取本校七年级部分同学进行问卷调查（每人必选且只选择一种最喜欢的书籍类型）．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息，解答下列问题：

(1)、一共有多少名学生参与了本次问卷调查？

(2)、补全条形统计图；

(3)、扇形统计图中“其他”所在扇形的圆心角度数为；

(4)、若该校七年级有1500名学生，请你估计喜欢“科普常识”的学生人数．

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25. 小张骑摩托车从A地去B地，小王驾车从B地去A地再返回B地．两人同时出发，小张骑摩托车的速度为 $36 km / h$ ，小王去A地用了 $2 h$ ，返回时速度有所提高，小张、小王两人离A地的路程y（单位：km）与小张出发的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．

(1)、A ， B两地之间的路程为 $km$ ；

(2)、求出小王返回追上小张时，他们离B地的距离；

(3)、直接写出小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间．

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26. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形，点D在边 $B C$ 上，点F在射线 $A B$ 上，以 $D F$ 为一边作等边三角形 $D E F$ ，连接 $B E$ ．

(1)、当点F与点A重合时，如图①，线段 $B E$ ， $B D$ ， $B F$ 之间的数量关系是；

(2)、点F在 $A B$ 边上时，如图②；当点F在 $A B$ 边的延长线上时，如图③，猜想线段 $B E$ ， $B D$ ， $B F$ 之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．

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27. 某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．

(1)、求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；

(2)、该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？

(3)、若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．

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28. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A ， C分别在x轴和y轴上， $O A$ ， $O C (O A < O C)$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - (3 + 3 \sqrt{3}) x + 9 \sqrt{3} = 0$ 的两个实数根，点P从点C出发，以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将 $△ C P Q$ 沿直线 $P Q$ 折叠得到 $△ D P Q$ ，设 $△ D P Q$ 与矩形 $O A B C$ 重合部分的面积为S ，运动时间为t秒．

(1)、求点B的坐标；

(2)、求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)、当点D落在 $A B$ 上时，点N在x轴上，直线 $P Q$ 上是否存在点M ，使以D ， Q ， M ， N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接与出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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