（人教版）吉林地区八年级升九年级2023年暑假衔接专题11 二次函数与一元二次方程

试卷更新日期：2023-06-13 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 的图象经过点 $(- 1 ， 0)$ ，则方程 $a x^{2} - 2 a x + c = 0$ 的解为（　　）

A、 $x = - 1$ B、 $x_{1} = 3 ， x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = 3 ， x_{2} = - 1$

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2. 已知 $m > 0$ ，关于x的一元二次方程 $(x + 1) (x - 2) - m = 0$ 的解为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下列结论正确的是( 　)

A、 $x_{1} < - 1 < 2 < x_{2}$ B、 $- 1 < x_{1} < 2 < x_{2}$ C、 $- 1 < x_{1} < x_{2} < 2$ D、 $x_{1} < - 1 < x_{2} < 2$

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3. 如图所示的是二次函数y=ax²+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax²+bx+c<0的解集是（）

A、-1<x<5 B、x>5 C、x<-1且x>5 D、x<-1或x>5

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（）

A、 $a c < 0$ B、 $b = 2 a$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的近似解为 $x_{1} \approx - 0.5$ ， $x_{2} \approx 3.2$

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5. 二次函数 $y = a x^{2} - b x - 5$ 与x轴交于（1，0）、（－3，0），则关于x的方程 $a x^{2} - b x = 5$ 的解为（）

A、1，3 B、1，－5 C、－1，3 D、1，－3

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像经过点 $(- 5 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 5$ ， $x_{2} = 0$ C、 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = - 5$ ， $x_{2} = 3$

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7. 已知二次函数 $y ＝ x^{2} ＋ 3 x - m$ （m为常数）的图像与x轴的一个公共点为（1，0），则关于x的一元二次方程 $x^{2} ＋ 3 x - m ＝ 0$ 的两实数根是（　　）

A、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ - 4$ B、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ 2$ C、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ - 3$ D、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ 3$

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8. 根据下列表格对应值，判断关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 3$ 的一个解 $x$ 的范围是（）
$x$
1.1
1.2
1.3
1.4
$a x^{2} + b x + c$
-0.59
0.84
2.29
3.76

A、1.1＜x＜1.2 B、1.2＜x＜1.3 C、1.3＜x＜1.4 D、无法判定

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9. 抛物线 $y = a x_{}^{2} + b x + c$ （a＜0）与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图像如图所示，则一元二次方程 $a x_{}^{2} + b x + c = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1}^{} = 0 ， x_{2}^{} = 3$ B、 $x_{1}^{} = - 1 ， x_{2}^{} = 0$ C、 $x_{1}^{} = - 1 ， x_{2}^{} = 1$ D、 $x_{1}^{} = - 1 ， x_{2}^{} = 3$

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10. 设一元二次方程 $(x + 1) (x - 3) = a (a > 0)$ 的两实数根分别为 $α$ ， $β$ 且 $α < β$ ，则 $α$ 、 $β$ 满足（）

A、 $- 1 < α < β < 3$ B、 $α < - 1 < 3 < β$ C、 $α < - 1 < β < 3$ D、 $- 1 < α < 3 < β$

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二、填空题

11. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解是 .

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12. 已知关于x的一元二次方程 $(x - 2) (x - 3) = m$ 有实根x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，现有下列说法： ①当m=0时，x₁=2，x₂=3；②当m>0时，2＜x₁＜x₂＜3；③ $m > - \frac{1}{4}$ ；④二次函数 $y = (x - x_{1}) (x - x_{2}) - m$ 的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有.

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13. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 0.5$ 如图所示，利用图象可得方程 $x^{2} - 2 x + 0.5 = 0$ 的近似解为（精确到0.1）.

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14. 二次函数 $y = {ax}^{2} - 2 ax - m$ 的部分图象如图所示，则方程 ${ax}^{2} - 2 ax - m = 0$ 的根为．

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15. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $A (- 1 ， 0)$ 且对称轴为直线 $x = 1$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为．

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三、解答题

16. 已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，且对任意实数x，都有 $4 x - 12 \leq a x^{2} + b x + c \leq 2 x^{2} + 8 x + 6$ .二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图象上的动点.在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有满足条件的点N的坐标.

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17. 若二次函数 $y = x^{2} + b x - 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，求关于x的方程 $x^{2} + b x - 3 = 5$ 的解.

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18. 已知抛物线经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ， $C (0 ， 5)$ ，求该抛物线的函数关系式

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19. 已知二次函数 $y = - x^{2} + (m - 2) x + m + 1.$ 试证明：不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点

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四、综合题

20. 已知抛物线y＝x²+（k﹣5）x﹣（k+4），

(1)、求证：抛物线与x轴必有两个交点；

(2)、若该抛物线与x轴的两个交点为A（x₁ ， 0）、B（x₂ ， 0），且（x₁+1）（x₂+1）＝﹣8，求二次函数的解析式．

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + a - 2 = 0$ ．

(1)、若该方程的一个根为1，求 $a$ 的值及该方程的另一根；

(2)、求证：二次函数 $y = x^{2} + a x + a - 2$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点．

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22. 已知二次函数解析式为 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + 3$ (m是常数)．

(1)、求证：不论m为何值，函数图象与x轴总是没有公共点；

(2)、把该函数图象沿平行y轴方向怎样平移，得到的图象与x轴只有一个交点？

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 6 a x - 4$ （ $a \neq 0$ ）．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、若方程 $a x^{2} - 6 a x - 4 = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 \leq x_{1} < x_{2} \leq 4$ ，结合函数的图象，求 $a$ 的取值范围．

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$x$	1.1	1.2	1.3	1.4
$a x^{2} + b x + c$	-0.59	0.84	2.29	3.76

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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