【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学

试卷更新日期：2023-06-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $M = {1 ， 4} ， N = {2 ， 5}$ ，则 $N ∪ ∁_{U} M =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 5}$ B、 ${1 ， 3 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. $\frac{5 (1 + i^{3})}{(2 + i) (2 - i)} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， 2)$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{1}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2} + a_{6} = 10 ， a_{4} a_{8} = 45$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、25 B、22 C、20 D、15

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6. 执行下边的程序框图，则输出的 $B =$ （）

A、21 B、34 C、55 D、89

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7. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、5

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8. 曲线 $y = \frac{e^{x}}{x + 1}$ 在点 $(1 ， \frac{e}{2})$ 处的切线方程为（）

A、 $y = \frac{e}{4} x$ B、 $y = \frac{e}{2} x$ C、 $y = \frac{e}{4} x + \frac{e}{4}$ D、 $y = \frac{e}{2} x + \frac{3 e}{4}$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $P A = P B = 2 ， P C = \sqrt{6}$ ，则该棱锥的体积为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11. 已知函数 $f (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$ ．记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}) ， b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}) ， c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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12. 函数 $y = f (x)$ 的图象由 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到，则 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6} = 7 S_{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

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14. 若 $f (x) = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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15. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y \leq 3 ， \\ - 2 x + 3 y \leq 3 \\ x + y \geq 1 ， \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， O$ 为 $A C_{1}$ 的中点，若该正方体的棱与球 $O$ 的球面有公共点，则球 $O$ 的半径的取值范围是．

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{c o s A} = 2$ ．

(1)、求 $b c$ ；

(2)、若 $\frac{a c o s B - b c o s A}{a c o s B + b c o s A} - \frac{b}{c} = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C ， ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $A B = A_{1} B ， A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高．

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19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1

32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2

19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5

(1)、计算试验组的样本平均数；

(2)、（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表

$< m$

$\geq m$

对照组

试验组

（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k)$

0.100

0.050

0.010

$k$

2.706

3.841

6.635

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20. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{2} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) + s i n x < 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的焦点， $M ， N$ 为 $C$ 上两点，且 $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，求 $△ M F N$ 面积的最小值．

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22. 已知点 $P (2 ， 1)$ ，直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 2 + t c o s α ， \\ y = 1 + t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数）， $α$ 为 $l$ 的倾斜角， $l$ 与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴分别交于 $A ， B$ ，且 $| P A | \cdot | P B | = 4$ ．

(1)、求 $α$ ；

(2)、以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - a | - a ， a > 0$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < x$ 的解集；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积为2，求 $a$ ．

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	$< m$	$\geq m$
对照组
试验组

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635