【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学

试卷更新日期：2023-06-12 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 设集合 $A = {x ∣ x = 3 k + 1 ， k \in Z} ， B = {x ∣ x = 3 k + 2 ， k \in Z}$ ， U为整数集， $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${x | x = 3 k ， k \in Z}$ B、 ${x ∣ x = 3 k - 1 ， k \in Z}$ C、 ${x ∣ x = 3 k - 2 ， k \in Z}$ D、 $\emptyset$

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2. 若复数 $(a + i) (1 - a i) = 2 ， a \in R$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0· C、1 D、2

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3. 执行下面的程序框遇，输出的 $B =$ （）

A、21 B、34 C、55 D、89

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4. 向量 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、30

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6. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）

A、0.8 B、0.4 C、0.2 D、0.1

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7. “ $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ”是“ $s i n α + c o s β = 0$ ”的（）

A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件 C、充要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A、120 B、60 C、40 D、30

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10. 已知 $f (x)$ 为函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得函数，则 $y = f (x)$ 与 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 4 ， P C = P D = 3 ， ∠ P C A = 45 °$ ，则 $△ P B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $| P O | =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{2}$

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二、填空题

13. 若 $y = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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14. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} - 2 x + 3 y \leq 3 \\ 3 x - 2 y \leq 3 \\ x + y \geq 1 \end{array}$ ，设 $z = 3 x + 2 y$ ，则z的最大值为．

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为CD， $A_{1} B_{1}$ 的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A C = 60 ° ， B C = \sqrt{6}$ ， D为BC上一点，AD为 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ ．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ，设 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和， $2 S_{n} = n a_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} + 1}{2^{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C ⊥$ 底面ABC， $∠ A C B = 90 °$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1．

(1)、求证： $A C = A_{1} C$ ；

(2)、若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为2，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．

(1)、设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4

26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3

实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2

14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0

（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：

<m >m 合计

对照组

实验组

合计

（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．

参考数据：

$k_{0}$ 0.10 0.05 0.010

$P (k^{2} \geq k_{0})$ 2.706 3.841 6.635

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20. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与C交于A，B两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设C的焦点为F，M，N为C上两点， $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = 0$ ，求 $△ M N F$ 面积的最小值．

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21. 已知 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{3} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$

(1)、若 $a = 8$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < s i n 2 x$ 恒成立，求a的取值范围．

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四、选做题

22. 已知 $P (2 ， 1)$ ，直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 2 + t c o s α \\ y = 1 + t s i n α \end{array}$ （t为参数），l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点， $| P A | \cdot | P B | = 4$ ．

(1)、求 $α$ 的值；

(2)、以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - a | - a ， a > 0$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < x$

(2)、若 $y = f (x)$ 与坐标轴围成的面积为2，求a．

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	<m	>m	合计
对照组
实验组
合计

$k_{0}$	0.10	0.05	0.010
$P (k^{2} \geq k_{0})$	2.706	3.841	6.635