人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——18.2.3正方形二

试卷更新日期：2023-06-11 类型：复习试卷

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一、正方形性质与判定的证明

1. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点， $A E ⊥ B F$ ，且 $A E = B F$ ．求证：矩形ABCD是正方形．

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2. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点， $C E ⊥ B G$ 于点E， $D F ⊥ C E$ 于点F.求证： $D F = B E + E F$ .

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3. 如图， $A B$ 是 $C D$ 的垂直平分线，交 $C D$ 于点M，过点M作 $M E ⊥ A C ， M F ⊥ A D$ ，垂足分别为点E，F，已知 $∠ C A D = 90 °$ ．求证：四边形 $A E M F$ 是正方形．

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4. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ， $O E = O A$ .
求证：四边形 $A E C F$ 是正方形.

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5. 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．求证：

(1)、BG＝DE；

(2)、BG⊥DE．

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二、（特殊）平行四边形的动点问题

6. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为xcm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．

(1)、当t＝s时，四边形EBFB'为正方形；

(2)、当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？

(3)、是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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7. 已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）

(1)、如图1，当t为何值时，△DOE的面积为6；

(2)、如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE；

(3)、如图3，过点D作DG $∥$ OB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构成等腰三角形，求出此时t的值.

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8. 如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm.如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
①CP的长为 _▲_ cm（用含t的代数式表示）；

②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值.

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以 $\sqrt{2}$ cm/s的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t(0<1≤10)s．过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DF。

(1)、用含t的式子填空：BE= cm ，CD= cm。

(2)、试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形；

(3)、当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由。

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10. 已知，AB＝18，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形．设点P的运动时间为t．

(1)、如图1，若两个正方形的面积之和S，当t＝6时，求出S的大小；

(2)、如图2，当t取不同值时，判断直线AE和BC的位置关系，说明理由；

(3)、如图3，用t表示出四边形EDBF的面积y．

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三、四边形中的线段最值问题

11. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为cm.

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12. 在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动.连接AE和DF交于点P，则运动时间t为秒时，P、C两点间的距离最小.

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3， $△ A B E$ 是等边三角形，点E在正方形 $A B C D$ 内，在对角线 $A C$ 上有一点P，使 $P D + P E$ 的和最小，则这个最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、2

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14. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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15. 如图，在边长为5的正方形 $A B C D$ 中，点M为线段 $C D$ 上一点，且 $C M = \frac{2}{3} D M$ ，点P是对角线 $A C$ 上一动点，过点P作 $P E ⊥ A D$ 于点E， $P F ⊥ C D$ 于点F，则 $P M + E F$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $2 + \sqrt{13}$

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16. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是.

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四、存在性问题

17. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．
探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．
因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，
所以EF＝FG＝GH＝HE＝ $\sqrt{2}$ ，设EB＝x，则BF＝ $\sqrt{2}$ ﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF＝AE＝ $\sqrt{2}$ ﹣x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（ $\sqrt{2}$ ﹣x）²＝1²
解得，x₁＝x₂＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BE＝BF，即点B是EF的中点．
同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．
所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：已知边长为1的正方形ABCD， ▲ 一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中有 $A ， B ， C ， D$ 四点，其中 $A (- 4 ， 4) ， B (4 ， 4)$ ， $C (- 2 ， - 1) ， D (2 ， - 1)$ .

（Ⅰ）在下图中描出 $A ， B ， C ， D$ 四点，再连接 $A B ， C D$ ；

（II）直接写出线段 $A B$ 与线段 $C D$ 的位置关系；

（Ⅲ）若 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $M ， C D$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，在线段 $M N$ 上是否存在一点 $P$ ，使得三角形 $A B P$ 与三角形 $C D P$ 的面积相等.若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线 $l_{2}$ ： $y = x$ 于点C．
$($ Ⅰ $)$ 如图 $①$ ，求出B、C两点的坐标；

$($ Ⅱ $)$ 若D是线段OC上的点，且 $△ B O D$ 的面积为4，求直线BD的函数解析式．

$($ Ⅲ $)$ 如图 $②$ ，在 $($ Ⅱ $)$ 的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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20.
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。

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21. 如图所示，一条线段AB平移一段距离后得到线段A’B’，连接AA’，BB’可以得到一个平行四边形ABB’A’请据此回答下面问题：
在平面直角坐标系中有A点（1，0），B点（-2，1），C点（-1，-3），若坐标平面内存在点D，使得A，B，C，D四点恰好能构成一个平行四边形，求D点的坐标.

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五、综合训练

22. 如图，正方形 ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A，D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D，C重合，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点、则有下列结论：
①∠BGF是定值；②FB平分∠AFC：③当E运动到AD中点时，GH= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ：④当AG+BG= $\sqrt{6}$ 时，四边形GEDF的面积是 $\frac{1}{2}$ ，其中正确的是（ )

A、①②④ B、①②③ C、①③④ D、②③④

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23. 如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝8，BC＝6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒.

(1)、AM＝， AP＝.(用含t的代数式表示)

(2)、当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值

(3)、如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，
①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

②使四边形AQMK为正方形，求AC.

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24. 如图，正方形 $M N B C$ 内有一点A ，以 $A B$ ， $A C$ 为边向 $△ A B C$ 形外作正方形 $A B R T$ 和正方形 $A C P Q$ ，连接 $R M$ ， $B P$ .求证： $B P ∥ R M$ .

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25. 如图，点 $P$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上（ $P$ 不与 $A$ ， $D$ 重合），连接 $P C$ ，将线段 $P C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $P E$ ，连接 $D E$ ．求证： $△ P D E$ 的面积 $S = \frac{1}{2} P D^{2}$ ．

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26. 如图1，已知正方形 $A B C D$ ， $E$ 是边 $B C$ 上的一个动点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ，连结 $A E$ ，点 $B$ 关于直线 $A E$ 的对称点为 $F$ ，连结 $E F$ 并延长交 $C D$ 于点 $G$ ，连结 $A G$ ， $A F$ ．

(1)、求 $∠ E A G$ 的度数．

(2)、如图2，连结 $C F$ ，若点 $G$ 为 $C D$ 中点， $A B = 6$ ，求 $△ E C F$ 的面积．

(3)、如图3，过点 $G$ 作 $G H ⊥ A E$ 于点 $H$ ，连结 $B H$ ，请探究线段 $B H$ 与 $C G$ 的数量关系，并说明理由．

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27. 如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．

(1)、如图1，点C在FG上，求 $∠ F B G$ 的大小；

(2)、如图1，若C是FG的中点，求证： $C H = D H$ ；

(3)、如图2，若 $A E = 2$ ， $E F = 3$ ，设 $E B = x$ ， $C G^{2} = y$ ，直接写出y与x的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）．

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28.

(1)、【问题初探】如图1，E是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上一点，延长 $B A$ 至点F，使 $A F = C E$ ，连接 $D E$ ， $D F$ .求证： $△ D C E ≌ △ D A F$ .

(2)、【问题再探】如图2，E，M分别是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $A B$ 上一点，分别过点M，E作 $M P ⊥ C D$ 于点P， $E Q ⊥ A D$ 于点Q，线段 $Q E$ ， $M P$ 相交于点N.连接 $D M$ ， $D E$ ， $M E$ ， $P Q$ ，若 $∠ M D E = 4 5^{o}$ .
①求证： $A M + C E = M E$ .
②探究 $△ N M E$ 和 $△ N P Q$ 的面积关系，并说明理由.

(3)、【问题延伸】如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E，M分别是射线 $C B$ ， $B A$ 上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断 $△ N M E$ 和 $△ N P Q$ 的面积关系是否仍成立.

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29. 已知：如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O， $∠ C A B$ 的平分线分别交 $B D$ ， $B C$ 于点E，F，作 $B H ⊥ A F$ 于点H，分别交 $A C$ ， $C D$ 于点G，P，连接 $G E$ ， $G F$ ．

(1)、求证： $△ O A E ≅ △ O B G$ ；

(2)、判断四边形 $B F G E$ 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

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30. 将一块足够大的直角三角板的直角顶点P放在边长为1的正方形ABCD的对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B，另一条直角边与射线DC交于点E.

(1)、当点E在边DC上时（如图1），求证：
①△PBC ≌△PDC；
②PB=PE.

(2)、当点E在边DC的延长线上时（如图2），（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明.

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