人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——18.2.1矩形的判定

试卷更新日期：2023-06-11 类型：复习试卷

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一、矩形的判定

1. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $B C$ ， $A D$ 上， $B E = D F$ ， $∠ A E C = 90 °$ ．连接 $B F$ ， $F C$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $B F$ 平分 $∠ A B C$ ，求 $A D$ 的长．

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2. 如图， $▱ A B C D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $C E$ 平分 $∠ B C D$ ． $B F ∥ C E$ ， $C F ∥ B E$ ．求证：四边形 $B E C F$ 是矩形．

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3. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E ，$ 点 $F$ 在 $C D$ 边上， $C F = A E ，$ 连接AF，BF.

(1)、求证：四边形 $B F D E$ 是矩形；

(2)、若 $A F$ 平分 $∠ D A B ，$ $C F = 3 ， D F = 5 ，$ 求四边形 $B F D E$ 的面积．

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4. 如图， $△ A B C$ 中，点O是 $A C$ 边上的一个动点，过点O作直线 $M N / / B C$ ，交 $∠ A C B$ 的平分线于点E ，交 $∠ A C B$ 的外角平分线于点F ．

(1)、判断 $O E$ 与 $O F$ 的大小关系？并说明理由；

(2)、当点O运动到何处时，四边形 $A E C F$ 是矩形？并说出你的理由；

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5. 如图1，在 $△ D B F$ 中， $D B = D F$ ， $D C ⊥ B F$ 于点C，点E是 $B D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长，使 $A E = C E$ ，连接 $A D 、 A B$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形.

(2)、如图2，点H为 $D F$ 的中点，连结 $C H$ ，若 $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，求四边形 $E C H D$ 的面积.

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二、添一条件使四边形是矩形

6. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF.

(1)、求证：AF＝BD；

(2)、当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由.

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7. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）

A、AB＝BC B、AC⊥BD C、∠1＝∠2 D、∠ABC＝90°

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8. 要使平行四边形 $A B C D$ 成为矩形，需要添加的条件是（）

A、 $∠ A + ∠ B = 180^{°}$ B、 $∠ C + ∠ B = 180^{°}$ C、 $∠ A = ∠ B$ D、 $∠ B = ∠ D$

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）

A、∠ACD＝∠BCD B、AD＝BD C、CD⊥AB D、CD＝AC

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是（写出一个即可）．

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三、线段最小值问题

11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， P为 $B C$ 边上任意一点（点P与点C不重合），连接 $P A$ ，以 $P A$ ， $P C$ 为邻边作 $▱ P A Q C$ ，连接 $P Q$ ，则 $P Q$ 长的最小值是．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，点M，N，P分别在 $A D$ ， $B C$ ， $A B$ 上运动，且四边形 $A B N M$ 的面积始终等于24，则 $P M + P N$ 的最小值是（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 1 ， A B = 2 \sqrt{2} ， M$ 为线段 $B D$ 上一动点， $M P ⊥ C D$ 于点 $P ， M Q ⊥ B C$ 于点Q，则 $P Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、3 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 为边 $C D$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动， $F$ 是 $C P$ 的中点，则 $Δ C E F$ 的周长的最小值是.

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四、矩形性质和判定综合

16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，O为 $A C$ 中点， $E F$ 过O点且 $E F ⊥ A C$ 分别交 $D C$ 于F ，交 $A B$ 于E ，点G是 $A E$ 中点且 $∠ A O G = 30 °$ ，则下列结论正确的个数为（）

(1)、 $D C = 3 O G$ ；（2） $O G = \frac{1}{2} B C$ ；（3） $△ O G E$ 是等边三角形；（4） $S_{△ A O E} = \frac{1}{6} S_{矩形 A B C D}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17. 已知 $▱ A B C D$ 中， $A D = 2 A B$ ， F是 $B C$ 的中点，作 $A E ⊥ C D$ ，垂足E在线段 $C D$ 上，不与点C重合，连接 $E F ， A F$ ，下列结论：① $2 ∠ B A F = ∠ B A D$ ；② $E F = A F$ ；③ $S_{△ A B F} \leq S_{△ A E F}$ ；④ $∠ B F E = 3 ∠ C E F$ 中一定成立的是（）

A、①②④ B、①③④ C、①②③ D、①②③④

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18. 如图，BE，BF分别是 $∠ A B C$ 与它的邻补角 $∠ A B D$ 的平分线， $A E ⊥ B E$ ，垂足为点E， $A F ⊥ B F$ ，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．若 $A B = 7$ ， $B C = 4$ ，则 $M F + N E$ 的长为．

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， E是 $B C$ 的中点， $A E ⊥ B D$ 于点F，则 $C F$ 的长是（）

A、1 B、1.2 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F C$ 是两个矩形，点 $B$ 在 $E F$ 边上，若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，则矩形 $A E F C$ 的面积为 $($ $)$

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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五、综合训练

21. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC ， ∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

(1)、设△DPQ的面积为S ，求S与t之间的关系式；

(2)、当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？

(3)、分别求出当t为何值时，①PD=PQ；②DQ=PQ ．

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22. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．

(1)、求证：∠OBE＝ $\frac{1}{2}$ ∠ADO；

(2)、若F、G分别是OD、AB的中点，且BC＝ $\sqrt{10}$ ，
①求证：△EFG是等腰三角形；

②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．

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23.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ ＝ $90 °$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $P$ 是 $A E$ 的中点，若 $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，求 $C P$ 的长.

(2)、如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点， $P$ 是 $B E$ 上的中点，若 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，求 $A P$ 的长.

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， M为线段 $B D$ 上一动点， $M P ⊥ C D$ 于点P， $M Q ⊥ B C$ 于点Q，则 $P Q$ 的最小值为 .

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25. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边BC的中点，连接AE，把△ABE沿AE对折得到△AFE，延长AF与CD交于点G，则DG的长为．

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26. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为．

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27. 如图，△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为G，F．

(1)、求证：四边形DEFG为矩形；

(2)、若AB＝AC＝2 $\sqrt{5}$ ， EF＝2，求CF的长．

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28. 已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝．

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29. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是．

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30. 如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是 $(6 ， 0)$ ，点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，OC是矩形OBCA的对角线，OE平分 $∠ B O C$ 交BC于点E，CF平分 $∠ A C O$ 交OA于点F．

(1)、求证：四边形OECF是平行四边形；

(2)、当四边形OECF为菱形时，求点B的坐标；

(3)、过点E作 $E G ⊥ O C$ ，垂足为点G，过点F作 $F H ⊥ O C$ ，垂足为点H，当点G，H将对角线OC三等分时，求点B的坐标．

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