人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——18.2.1矩形的性质

试卷更新日期：2023-06-11 类型：复习试卷

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一、利用矩形性质求角度

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ B D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A O E$ ≌ $△ C O F$ ；

(2)、若 $A E = O E$ ，求 $∠ B A E$ 的度数.

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2. 点P是矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的延长线上一点， $P D = \frac{1}{2} A C$ ， $∠ P = 52 °$ ，则 $∠ P D C =$ 度.

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3. 如图， $▱ A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上两点， $A E = E F = C D$ ， $∠ A D F = 90 °$ ， $∠ B C D = 57 °$ ，则 $∠ A D E =$ ．

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4. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 16$ ， $A B = 6$ ， E为 $A D$ 边上的中点，点F从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边 $B C$ 向终点C运动，连接 $A F$ ， $F E$ ， $E C$ ．设点F运动的时间为t秒．

(1)、当t为何值时， $A F = C E$ ？

(2)、是否存在某一时刻，使得 $∠ F E C = ∠ D E C$ ？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由．

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $∠ A D F ： ∠ F D C = 3 ： 2$ ， $D F ⊥ A C$ 交 $B C$ 于F，垂足为E，求 $∠ B D F$ 的度数．

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二、根据矩形性质求线段长度

6. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $∠ A O B = 60 °$ ， $A C + A B = 12$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、3 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O ， $∠ A O D = 120 °$ ， $A B = 4$ ，则矩形对角线的长为（）

A、4 B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，O是对角线 $B D$ 中点．过O点的直线与矩形的一组对边 $A B$ ， $C D$ 分别相交于点F ， E ．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、点 $B^{'}$ 与B关于直线 $E F$ 对称，连接 $B E ， D B^{'} ， E B^{'} ， O B^{'}$ ．
①求证： $D B^{'} ∥ O E$ ；

②若 $A B = 8 ， B C = 4$ ，且四边形 $O E B^{'} D$ 是平行四边形，求线段 $E F$ 长．

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9. 如图， $P$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上一个动点，矩形的两条边 $A B$ 、 $B C$ 的长分别为3和4，那么点 $P$ 到矩形的两条对角线 $A C$ 和 $B D$ 的距离之和是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{24}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{18}{5}$

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10. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ D、2

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三、根据矩形性质求面积

11. 如图，矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 8 cm$ ，把矩形纸片沿直线 $A C$ 折叠，点B落在点E处， $A E$ 交 $D C$ 于点F ，若 $A F = 5 cm$ ．求 $△ A C F$ 的面积．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $A E ⊥ B D$ 于点E， $C F ⊥ B D$ 于点F，连接 $A F ， C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ A O B = 60 ° ， A C = 8$ ，求四边形 $A F C E$ 的面积．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{o}$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 为边在 $A B$ 的同一侧作正方形 $A B D E$ ， $A C F G$ ， $B C I H$ ，四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ .若已知图中阴影部分的面积的和，则一定能求出（）

A、正方形 $A B D E$ 的面积 B、正方形 $A C F G$ 的面积 C、 $△ A B C$ 的面积 D、四边形 $A B H I$ 的面积

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14. 如图，长方形ABCD是由30个大小相等的正方形拼成的，E、F、G、H分别在AD、 AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则长方形ABCD的面积是（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{30}{17}$

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15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、8 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$ $\sqrt{3}$

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四、求矩形在坐标系中的坐标

16. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点B的坐标为 $(2 ， 3)$ ，则 $A C$ 长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{5}$ D、4

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17. 已知在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的三个顶点的坐标为 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (3 ， - 1)$ ，则第四个顶点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(3 ， 2)$ C、（ $3 ， 3)$ D、 $(2 ， 3)$

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18. 已知矩形 $A B C O$ 中， $A (- 6 ， 2)$ ， $B (- 5 ， b)$ ， $C (a ， 3)$ ，则矩形的面积为.

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19. 已知 $A (0 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ， $D (9 ， 4)$ ， $C (12 ， 0)$ ，动点P从点A出发，在线段 $A D$ 上，以每秒1个单位的速度向点D运动：动点Q从点C出发，在线段 $B C$ 上，以每秒2个单位的速度向点B运动，点P、Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t（秒）.

(1)、当 $t =$ 秒时， $P Q$ 平分线段 $B D$ ；

(2)、当 $t =$ 秒时， $P Q ⊥ x$ 轴；

(3)、当 $∠ P Q C = \frac{1}{2} ∠ D$ 时，求t的值.

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20. 如图：在平面直角坐标系内有长方形 $O A B C$ ，点A，C分别在y轴，x轴上，点 $D (4 ， 3)$ 在 $A B$ 上，点E在 $O C$ 上，沿 $D E$ 折叠，使点B与点O重合，点C与点 $C_{1}$ 重合．若点P在坐标轴上，且 $△ A P C_{1}$ 面积是18，则点P坐标为．

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五、矩形与折叠问题

21. 如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（）

A、4.8 B、5 C、5.8 D、6

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22. 如图，已知点 $E$ 是长方形 $A B C D$ 中 $A D$ 边上一点，将四边形 $B C D E$ 沿直线 $B E$ 折叠，折叠后点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，点 $D$ 的对应点为 $D'$ ，若点 $A$ 在 $C' D'$ 上，且 $A B = 10$ ， $B C = 8$ ，则 $A E =$ ．

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23. 如图：长方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 沿 $A E$ 折叠，使点D落在 $B C$ 上的点F处，已知 $A B = 6$ ， $△ A B F$ 的面积是24，则 $F C$ 的值为

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24. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝36°，则∠GHC等于（）

A、110° B、108° C、106° D、112°

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25. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点 $M$ 是对角线 $A C$ 的中点，点 $E$ 在 $B C$ 边上，把 $△ D C E$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点 $C$ 落在对角线 $A C$ 上的点 $F$ 处，连接 $D F$ ， $E F .$ 若 $M F = A B$ ，则 $∠ D A F =$ 度 $.$

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六、斜边上的中线等于斜边一半

26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是AB的中点，且 $D C = 5 cm$ ，则AB＝cm．

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27. 如图， $D E$ 为 $△ A B C$ 的中位线，点 $F$ 在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90 °$ ，若 $A B = 8$ ， $B C = 12$ ，则 $E F$ 的长为．

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28. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O． $B D = 2 A D$ ， E，F，G分别是 $O C$ ， $O D$ ， $A B$ 的中点．

(1)、求证： $B E ⊥ A C$ ；

(2)、若 $E F = 2$ ，求 $E G$ 的长．

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29. 如图

(1)、【问题提出】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $△ C D E$ 是等边三角形，点 $D$ 在边 $A B$ 上，探究 $D E$ 与 $E B$ 的数量关系．

(2)、【问题探究】
先将问题特殊化如图1，当点 $E$ 在边 $B C$ 上时，猜想 $E D$ 和 $E B$ 数量关系，并加以证明；

(3)、再探究一般情形 $.$ 如图2，当点 $E$ 在 $△ A B C$ 内部时，证明（1）中的结论仍然成立．

(4)、【问题拓展】
如图3，当点 $E$ 在 $△ A B C$ 外部时， $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，过点 $E$ 作 $G E / / A B$ ，交线段 $A C$ 的延长线于点 $G$ ， $A G = 5 C G$ ， $B H = 3 .$ 直接写出 $C G$ 的长．

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30.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ ＝ $90 °$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $P$ 是 $A E$ 的中点，若 $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，求 $C P$ 的长.

(2)、如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点， $P$ 是 $B E$ 上的中点，若 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，求 $A P$ 的长.

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七、综合训练

31. 如图，矩形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{3}$ ，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的 $\frac{1}{4}$ ，则BF＝.

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32. 如图，矩形 $A B C D$ ，点E为 $A B$ 上一点，连接 $C E$ ，在 $C E$ 上取一点F，连接 $B F$ ，过F作 $C E$ 的垂线交 $A D$ 于点H，若 $∠ E B F + ∠ B C E = 90 °$ ， $C E = 2 F H$ ， $A D = 6$ ， $C E = 2 \sqrt{10}$ ，则 $C D$ 的长是．

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33. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ C D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，点 $M$ 在线段 $B E$ 上，连接 $A M$ ，在 $B C$ 下方有一点 $N$ ，满足 $∠ C A D = ∠ B C N$ ，连接 $M N$ ．

(1)、若 $∠ B C N = 60 °$ ， $A E = 5$ ，求 $Δ A B E$ 的面积；

(2)、若 $M A = M N$ ， $M C = E A + C N$ ，求证： $A B = \sqrt{3} A E$ ．

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34. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $B C = 12$ ， $D$ 是 $A B$ 上一动点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ．连接 $E F$ ，则线段 $E F$ 的最小值是．

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35. 问题探究：

(1)、如图1， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 是高，求证： $B D = A D = C D$ .

(2)、如图2，在（1）条件下， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 和 $B C$ 上的点，且 $∠ E D F = 90 °$ ，如果 $B D = 2$ ，那么四边形 $E D F B$ 的面积是；

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $B D = 4$ ，求 $A B + B C$ 的值.

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36. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $C D ， B E$ 分别是 $A B ， A C$ 边上的高线，M，N分别是线段 $B C ， D E$ 的中点.

(1)、求证： $M N ⊥ D E$ .

(2)、连接 $D M ， M E$ ，猜想 $∠ A$ 与 $∠ D M E$ 之间的关系，并说明理由.

(3)、若将锐角三角形 $A B C$ 变为钝角三角形 $A B C$ ，其余条件不变，如图2，直接写出 $∠ B A C$ 与 $∠ D M E$ 之间的关系.

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37. 如图1是长方形纸带将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D分别落在点 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ 处，再沿BF折叠成图3，使点 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ 分别落在点 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ 处．

(1)、若 $∠ D E F = 20 °$ ，求图1中 $∠ C F E$ 的度数；

(2)、在（1）的条件下，求图2中 $∠ C_{1} F C$ 的度数；

(3)、在图3中写出 $∠ C_{2} F E$ 、 $∠ E G F$ 与 $∠ D E F$ 的数量关系，并说明理由．

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38. 如图，矩形ABCD中，CD=8，AD=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC 的面积.

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39. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点C落在 $A D$ 边的中点 $C'$ 处，点B落在点 $B'$ 处，其中 $A B = 9 ， B C = 6$ ，则 $F C'$ 的长为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、4 C、4.5 D、5

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40. 综合与实践：折纸中的数学
问题情境：

在矩形 $A B C D$ 中， $A D$ ＝12，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，且 $A E$ ＝ $C F$ ，将△ $A E M$ 沿 $E M$ 折叠，点 $A$ 的对应点为点 $P$ ，将△ $N C F$ 沿 $N F$ 折叠，点 $C$ 的对应点为点Q，且点 $P$ 、 $Q$ 均落在矩形 $A B C D$ 的内部（如图①）．

数学思考：

(1)、判断 $P M$ 与 $N Q$ 是否平行，并说明理由；

(2)、当 $A B$ 长度是多少时，存在点 $E$ ，使四边形 $P N Q M$ 是有一个内角为60°的菱形（如图②）？直接写出 $A B$ 的长度及菱形 $P N Q M$ 的面积．

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