吉林省2023年中考数学模拟试卷(四 )

试卷更新日期：2023-06-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在数轴上表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B，则点A和点B之间的距离为（）个单位．

A、2022 B、2023 C、2024 D、2025

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2. 不等式 $6 - 3 x \geq 0$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔 $C D$ 的高度，信号塔 $C D$ 对面有一座高15米的瞭望塔 $A B$ ，测得瞭望塔底 $B$ 与信号塔底 $D$ 之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部 $A$ 测得信号塔顶 $C$ 的仰角为 $α$ ，则信号塔 $C D$ 的高为（）

A、 $(15 + \frac{25}{s i n α})$ 米 B、 $(15 + 25 \cdot s i n α)$ 米 C、 $(15 + \frac{25}{t a n α})$ 米 D、 $(15 + 25 \cdot t a n α)$ 米

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4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 1$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 平行于 $x$ 轴的直线交抛物线 $y = x^{2}$ 于 $B$ 、 $C$ 两点，点 $P$ 在抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 1$ 上且在 $x$ 轴的上方，连接 $P B$ ， $P C$ 则 $△ P B C$ 面积的最大值是（）

A、5 B、4.5 C、6 D、4

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5. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约59000000000千克，这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $0.59 \times 1 0^{11}$ 千克 B、 $59 \times 1 0^{9}$ 千克 C、 $5.9 \times 1 0^{9}$ 千克 D、 $5.9 \times 1 0^{10}$ 千克

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6. 如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过 $∠ A O B$ 的边 $O B$ 上一点 $E$ 作 $O A$ 的平行线 $E G$ ．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线 $E G$ ；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交 $O A$ 、 $O B$ 于点C、D；③以F为圆心， $C D$ 长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边 $O B$ 上取一点E，以E为圆心， $O C$ 长为半径画圆弧，交 $O B$ 于点F．这些作图步骤的正确顺序为（）

A、①②③④ B、③②④① C、②④③① D、④③①②

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7. 如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流 $I (A)$ 与电阻 $R (Ω)$ 成反比例函数的图象，该图象经过点 $P (880 ， 0.25)$ ．根据图象可知，下列说法错误的是（）

A、 $I$ 与 $R$ 的函数关系式是 $I = \frac{220}{R} (R > 0)$ B、当 $I = 0.5$ 时， $R = 440$ C、当 $R > 1000$ 时， $I > 0.22$ D、当 $880 < R < 1000$ 时， $I$ 的取值范围是 $0.22 < I < 0.25$

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8. 如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆 $A B$ 的高度，点B、C在同一条水平线上，测角仪在D处测得旗杆最高点A的仰角为 $α$ ．若测角仪 $C D = a$ ， $B C = b$ ，则旗杆 $A B$ 的高度为（）

A、 $a + b c o s α$ B、 $a + \frac{b}{c o s α}$ C、 $a + b t a n α$ D、 $a + \frac{b}{t a n α}$

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二、填空题

9. 分解因式： $3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} =$ ．

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10. 关于x的一元二次方程x²+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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11. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则 $∠ D E F$ 的大小是度．

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ B C D = 121 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A，B的坐标分别是 $A (0 ， 2)$ ， $B (2 ， - 1)$ ．平移 $△ A B C$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，则点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标是．

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14. 如图，P是抛物线y＝x²-x-4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．

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三、解答题

15. 在一个不透明的布袋中只装有2个黑色的围棋子和1个白色的围棋子，围棋子除颜色不同外其余均相同．从这个布袋中随机地摸出1个围棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出1个围棋子记下颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的围棋子颜色都是黑色的概率．

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16. 为了更好地满足学生网课需求，某商店购进 $A$ 型和 $B$ 型两种型号的学生机平板电脑．已知每台 $A$ 型学生机平板电脑的进价比每台 $B$ 型学生机平板电脑的进价多400元，且用60000元购进 $A$ 型学生机平板电脑与用48000元购进 $B$ 型学生机平板电脑的数量相同．求每台 $B$ 型学生机平板电脑的进价．

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17. 图①、图②均是由48个小正方形组成的 $6 \times 8$ 的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形，如图①， $△ A B C$ 即为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中作 $△ C D E$ ，使 $△ C D E$ 是格点三角形且与 $△ A B C$ 相似．

(2)、在图②中作 $∠ A F B$ ，使 $∠ A F B$ 与 $∠ C$ 相等，要求点F为格点且不与点C重合．

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18. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用 $x$ 表示： $90 \leq x \leq 100$ 为网络安全意识非常强， $80 \leq x \leq 90$ 为网络安全意识强， $x < 80$ 为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：

平均数
中位数
众数
甲组
$a$
80
80
乙组
83
$b$
$c$
根据以上信息回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知该校八年级有1000人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少人？

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19. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩 $x$ 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩/分
频数
频率
$50 \leq x < 60$
10
0.05
$60 \leq x < 70$
20
0.10
$70 \leq x < 80$
30
$b$
$80 \leq x < 90$
$a$
0.30
$90 \leq x \leq 100$
80
0.40
请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$ ， $b =$

(2)、请补全频数分布直方图．

(3)、这次比赛成绩的中位数会落在分数段．

(4)、若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”级别，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优良”级别的大约有多少人？

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20. 某食品加工厂的甲、乙两个生产组领到了相同的加工任务，甲、乙两组以相同的工作效率同时开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，提高了工作效率，在完成本组任务后，并帮助甲组加工了60 kg食品，最后两组同时停工，完成了此次加工任务，两组各自加工的食品量y（kg）与甲组工作时间x（h）之间的函数图象如图所示．

(1)、甲组每小时加工食品kg，乙组升级设备后每小时加工食品kg．

(2)、求乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式．

(3)、求m、n的值．

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21. 【题目】如图①，在矩形ABCD中， $A D = 2 A B$ ， F是AB延长线上一点，且 $B F = A B$ ，连结DF，交BC于点E，连结AE．试判断线段AE与DF的位置关系．
【探究展示】小明发现， $A E ⊥ D F$ ，并展示了如下的证明方法：
证明：∵ $B F = A B$ ，
∴ $A F = 2 A B$ ．
∵ $A D = 2 A B$ ，
∴ $A D = A F$ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ $A D ∥ B C$ ．
∴ $\frac{B F}{A B} = \frac{E F}{D E}$ ．
∵ $B F = A B$ ，
∴ $\frac{E F}{D E} = 1$ ．
∴ $D E = E F$ ．
∵ $A D = A F$ ，
∴ $A E ⊥ D F$ ． (依据)

(1)、【反思交流】上述证明过程中的“依据”是．

(2)、小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连结图①中的 $C F$ ，将 $C F$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $C G$ ，连结 $E G$ ．求证：点 $G$ 在线段 $B C$ 的垂直平分线上．

(3)、【拓展应用】如图③，将图①中的 $C F$ 绕着点 $F$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $F H$ ．分别以点 $B$ 、 $C$ 为圆心，以 $m$ 长为半径作弧，两弧交于点 $M$ ，连结 $M H$ ．若 $M H = A B = 1$ ，直接写出 $m$ 的值．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $s i n A = \frac{3}{5}$ ．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作 $P D ⊥ A B$ 交折线 $A C - C B$ 于点D，连结 $B D$ ，将 $△ D B P$ 绕点D逆时针旋转90°得到 $△ D E F$ ．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)、 $A C =$ ．

(2)、用含t的代数式表示线段 $P D$ 的长．

(3)、当点E落在 $A B$ 边上时，求t的值．

(4)、当 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．

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23. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + a x + 1$ （a为常数），经过点 $P (2 ， - 7)$ ，点Q在抛物线上，其横坐标为m，将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、Q两点）记为图像G．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、若点B是抛物线上一点，横坐标为1．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结 $B C$ ，求 $△ P B C$ 的面积．

(3)、当抛物线的顶点是图像G的最高点，且图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为定值时，求m的取值范围．

(4)、已知点 $M (2 m - 1 ， - 7)$ 、 $N (2 m - 1 ， \frac{1}{2} m + 1)$ 、 $E (2 ， \frac{1}{2} m + 1)$ ，顺次连接 $P M 、 M N 、 N E 、 E P$ 得到矩形 $P M N E$ ，当图像G与该矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

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24.

(1)、【问题原型】如图①，在 $△ A B C$ ， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，求点C到 $A B$ 的距离．

(2)、【问题延伸】如图②，在 $△ A B C$ ， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ．若点M在边 $B C$ 上，点P在线段 $A M$ 上，连结 $C P$ ，过点P作 $P Q ⊥ A B$ 于Q，则 $C P + P Q$ 的最小值为．

(3)、【问题拓展】如图（3），在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ．点E在边 $A D$ 上，点M在边 $A B$ 上，点F在线段 $C M$ 上，连结 $E F$ ．若 $∠ B C M = 30 °$ ，则 $C F + 2 E F$ 的最小值为．

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	平均数	中位数	众数
甲组	$a$	80	80
乙组	83	$b$	$c$