人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——18.1.2三角形的中位线

试卷更新日期：2023-06-10 类型：复习试卷

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一、与中位线有关的求解问题

1. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E F ∥ A B$ 交 $B C$ 于点E，交 $A D$ 于点F，连接 $A E ， B F$ 交于点M，连接 $C F ， D E$ 交于点N，连接 $M N$ ．求证 $M N = \frac{1}{2} A D$ ．

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2. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， E为 $A B$ 的中点，F为 $C E$ 的中点，则 $A F$ 的长等于．

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3. 如图，点O为正方形 $A B C D$ 的中心， $B E$ 平分 $∠ D B C$ 交 $D C$ 于点E，延长 $B C$ 到点F，使 $F C = E C$ ，连接 $D F$ 交 $B E$ 的延长线于点H，连接 $O H$ 交 $D C$ 于点G，连接 $H C$ .则以下四个结论中：① $O H ∥ B F$ ， ② $G H = \frac{1}{4} B C$ ， ③ $O D = \frac{1}{2} B F$ ， ④ $∠ C H F = 45 °$ ．正确结论为.

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D、E、F分别是 $A C$ 、 $A B$ 、 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C E = D F$ ．

(2)、连接 $D E$ 、 $E F$ ，求证：四边形 $C D E F$ 为矩形．

(3)、 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $C D E F$ 为正方形，并证明．

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，已知 $A D = 3 cm$ ， $A B = 5 cm$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $D C$ 边于点E ，点F、G分别是 $B E$ 、 $B C$ 的中点，则 $F G$ 等于（）

A、 $1 cm$ B、 $2 cm$ C、 $3 cm$ D、 $2.5 cm$

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二、中位线有关的三角形面积问题

6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别是 $A B 、 A C$ 的中点，若四边形 $B C E D$ 的面积是 $3 c m^{2}$ ，则 $△ A D E$ 的面积是（）

A、1 $c m^{2}$ B、2 $c m^{2}$ C、3 $c m^{2}$ D、4 $c m^{2}$

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，已知 $△ D E F$ 的面积为4，则 $△ B F C$ 的面积为．

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D和E分别是边 $A B$ 和 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ， $D C$ 与 $B E$ 交于点O，若 $△ D O E$ 的面积为1，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、13.5

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9. 如图，已知D、E分别是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 、 $A C$ 的中点， $A G$ 是 $△ A B E$ 的中线，连接 $B E$ 、 $A D$ 、 $G D$ ，若 $△ A B C$ 的面积为40，则阴影部分 $△ A D G$ 的面积为（）

A、10 B、5 C、8 D、4

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若 $△ A D E$ 的面积为S，则四边形BOGC的面积=

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三、三角形中位线有关的证明

11. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A D$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点．求 $D E$ 的长．

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13. 如图，CD是△ABC的中线，E为CD上一点，连接AE并延长至点F，使 $E F = A E$ ，连接BF，CF，若CF∥AB．求证：四边形DBFC是平行四边形．

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14. 如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为4，点D、E分别是 $A C$ 、 $B C$ 的中点，过点D作 $D F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 的延长线于点F，求 $D F$ 的长．

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15. 如图所示，已知E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC，BD于点F，G，连结AC交BD于点O，连结OF。
求证：AB=2OF。

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四、三角形中位线的实际应用

16. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE=18m，则线段AB的长度是m．

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17. 图1是三角形空地，计划用栅栏分成两部分种植不同的植物如图2，则栅栏AB的长度是（）

A、2m B、3m C、4m D、1m

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18. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若 $D E = 16$ m，则A、B两地的距离是（）

A、6m B、8m C、9m D、10m

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19. 东东家有一块等腰三角形的空地ABC，如图，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得AB=AC=12米，BC=10米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈养鸡，则需篱笆长米.

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20. 如图，将折叠书架画出侧面示意图，AB面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定，已知BC＝CE＝8cm，如图1，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点，如图2，当CF＝17cm，EF⊥AB，则底部BD＝cm，支撑架CD的长度为cm．

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五、综合训练

21. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点，连结GH，取GH的中点P，连结EP，FP，则下列说法正确的是（）

A、PE＝ $\sqrt{2}$ GH B、四边形BEPF的周长是△GDH周长的3倍 C、∠EPF＝60° D、四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍

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22. 操作与探究探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．

(1)、如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S₁ ，则S₁=（用含a的代数式表示）；

(2)、如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S₂ ，则S₂=（用含a的代数式表示）；

(3)、在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S₃ ，则S₃=（用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．

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23. $△ A B C$ 中，D、E分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，O是 $△ A B C$ 内任意一点，连接 $O B$ 、 $O C$ ．

(1)、如图1，点G、F分别是 $O B$ 、 $O C$ 的中点，连接 $D G$ ， $G F$ ， $F E$ ， $D E$ ，求证：四边形 $D E F G$ 是平行四边形；

(2)、如图2，若点O恰为 $B E$ 和 $C D$ 交点，求证： $O B = 2 O E$ ， $O C = 2 O D$ ；

(3)、如图3，若点O恰为 $B E$ 和 $C D$ 交点，射线 $A O$ 与 $B C$ 交于点M ，求证： $B M = C M$ ．

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是.

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，延长 $A B$ 到 $D$ ，使 $B D = A B$ ， $E$ 为 $A B$ 中点，连接 $C E ， C D$ ，若 $E C = \sqrt{3} - 1$ ，则 $C D =$ ．

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26. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，点F在BC上，点E为AF的中点，连接AF ，BE，ED，DF，BF= DE．

(1)、求证：四边形DEBF是平行四边形．

(2)、若AC= $2 \sqrt{3}$ DE，BD=6，求AB的长．

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27. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 5 ， B C = 3 ，$ 点D在 $A B$ 的延长线上，且 $B D = 3$ ，分别过点D作 $D E ⊥ A D$ 交 $A C$ 的延长线于点E，连接 $B E$ ，交 $C D$ 于点G，

(1)、求 $D E$ 的长，并证明 $E B ⊥ C D$ ；

(2)、如图1，在射线 $D C$ 上只用圆规作一点Q，使得 $A Q ⊥ A E$ （保留作图痕迹，并简要说明作法）；

(3)、如图2，在（2）的条件下，连接 $E Q$ ，分别取 $E Q 、 C E$ 的中点M、N，动点H在 $E G$ 上运动，求 $M H + N H$ 的最小值

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28. 在 $△ A B C$ 中，点D和点E分别是 $A B 、 A C$ 上两点，连接 $E D ， E B$ .点F、G、H分别是 $D E 、 B C 、 B E$ 的中点，连接 $H G ， F G ， H F$ .

(1)、猜想 $∠ A$ 与 $∠ F H G$ 的关系，并证明你的猜想.

(2)、若 $∠ A = 90 °$ ， $∠ 2 = ∠ 1 + 60 °$ ，求 $\frac{E C}{F G}$ 的值.

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29.

(1)、【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．

(2)、【结论应用】
如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段 $A D$ 的延长线交 $N M$ 的延长线于点E，延长线段 $B C$ 交 $N M$ 的延长线于点F．求证： $∠ A E N = ∠ F$ ．

(3)、若（1）中的 $∠ A + ∠ A B C = 122 °$ ，则 $∠ F$ 的大小为．

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30. 如图， $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，取 $B C$ 边中点 $E$ ，作 $E D ∥ A B$ ， $E F ∥ A C$ ， $E D$ ， $E F$ 分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $D$ ， $F$ ，得到四边形 $E D A F$ ，它的面积记作 $S_{1}$ ；取 $B E$ 中点 $E_{1}$ ，作 $E_{1} D_{1} ∥ F B$ ， $E_{1} F_{1} ∥ E F$ ， $E_{1} D_{1}$ ， $E_{1} F_{1}$ 分别交 $E F$ ， $B F$ 于点 $D_{1}$ ， $F_{1}$ ，得到四边形 $E_{1} D_{1} F F_{1}$ ，它的面积记作 $S_{2}$ ……照此规律作下去，则 $S_{n} =$ ．

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31. 如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE $∥$ AC交AB于点E，DF $∥$ AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（）

A、不变 B、一直增大 C、先增大后减小 D、先减小后增大

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32. 如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝9，点M为BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC延长线于点D，过点M作MN∥AD，交AB于点N，则AN的长为．

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33. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 上的点，连接 $D N$ ， $E M$ ．若 $A B = 13$ cm， $B C = 10$ cm， $D E = 5$ cm，则图中阴影部分面积为（）

A、25cm² B、35cm² C、30cm² D、42cm²

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34. 如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（）

A、140° B、120° C、100° D、80°

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35. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE $≌$ △CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．

(1)、【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．

(2)、【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝ $\frac{1}{2}$ CE，请直接写出CF的长．

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36. 如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为．

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37. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A C > A B > 4$ ，点D、E分别在边AB、AC上， $B D = 4$ ， $C E = 3$ ，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）

A、2.5 B、3 C、4 D、5

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38. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E，F分别是 $A B ， B C$ 的中点， $E H ⊥ A C$ ，垂足为H，与 $A F$ 交于点G，若 $A C = 24 ， G F = 6 \sqrt{5}$ ，则 $E G$ 的长为．

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39. 如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知B（0，4），∠BAO＝30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．

(1)、求线段AB的长，及点A的坐标；

(2)、t为何值时，△BPQ的面积为2 $\sqrt{3}$ ；

(3)、若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；

②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，若存在，直接写出t的值．

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40. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于 $O$ 点， $A C = A B$ ， $E$ 是 $A B$ 边的中点， $G$ 、 $F$ 为 $B C$ 上的点，连接 $O G$ 和 $E F$ ，若 $A B = 26$ ， $B C = 20$ ， $G F = 10$ ，则图中阴影部分的面积为.

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