吉林省2023年中考数学模拟试卷（二）

试卷更新日期：2023-06-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作 $- 500$ 年，那么公元2023年应记作（）

A、 $- 2023$ 年． B、 $+ 1523$ 年． C、 $+ 2023$ 年． D、 $+ 2523$ 年．

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2. 如图是由4个相同小正方体组成的几何体，其三视图中面积最大的是（）

A、主视图 B、左视图 C、俯视图 D、三视图的面积相等

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3. 关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + x - k = 0$ 没有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k < - \frac{1}{8}$ B、 $k \leq - \frac{1}{8}$ C、 $k > - \frac{1}{8}$ D、 $k \geq - \frac{1}{8}$

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4. 如图，直线l₁ $∥$ l₂ ，点C、A分别在l₁、l₂上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l₁于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）

A、10° B、15° C、20° D、30°

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， ∠ A B C = 135 ° ， A C = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，并且 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $∠ B = 35 °$ ，点P是 $\overset{⌢}{C B}$ 上任意一点（点 $P$ 不与点 $C$ ，点 $B$ 重合），连接 $P A$ ，则 $∠ P A B$ 的度数不可能为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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二、填空题

7. 2023年全国两会在北京圆满落下帷幕．《两会微博热度报告》显示，两会相关话题信息阅读量达78200000000．数据78200000000用科学记数法表示为．

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8. 因式分解： $x^{2} - x =$ ．

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9. 不等式 $2 x - 12 < 0$ 的解集是．

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10. 点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在一次函数 $y = (a - 2) x + 1$ 的图像上，当 $x_{1} > x_{2}$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，则a的取值范围是．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，经过 $A$ ， $D$ 两点的圆的圆心 $O$ 恰好落在 $A B$ 上， $⊙ O$ 分别与 $A B$ 、 $A C$ 相交于点 $E$ 、 $F .$ 若圆半径为 $2 .$ 则阴影部分面积 $=$ ．

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12. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点D在直线 $y = 3 x + 1$ 上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线 $x = - 5$ 相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为.

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8 c m$ ， $B C = 6 c m$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，使点 $C$ 落在边 $A B$ 上的 $E$ 处，点 $B$ 落在 $D$ 处，连接 $B D$ ．则 $△ B D E$ 的周长为 $c m$ （结果保留根号）．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ．以点 $C$ 为圆心， $C B$ 长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $E$ ， $D$ ，则阴影部分图形的周长是（结果保留 $π$ ）．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(a + b) (a - b) - (3 a b - a b^{2}) \div a$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \frac{1}{3}$ ．

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，点E，F分别在 $A B ， A D$ 上， $A E = A F$ ．求证 $C E = C F$ ．

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17. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率．

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18. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：△BDE ≌△CDF．

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19. 图1是一架三角钢琴，图2是该三角钢琴的示意图．韩老师和学生测得 $A B = 0.8 m$ ， $A M = 1.55 m$ ， $∠ M A D = 44 °$ ．求此三角钢琴最高点M到地面 $B C$ 的距离（结果精确到 $0.1 m$ ）．（参考数据 $s i n 44 ° \approx 0.69$ ， $c o s 44 ° \approx 0.72$ ， $t a n 44 ° \approx 0.97$ ）

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20. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．

(1)、分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

(2)、若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

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21. 为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

(1)、本次随机调查的学生人数是人；

(2)、请你补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于度；

(4)、小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．

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22. 数学爱好小组要测量 $5 G$ 信号基站高度，一名同学站在距离 $5 G$ 信号基站 $30 m$ 的点E处，测得基站项部的仰角 $∠ A C D = 52 °$ ，已知测角仪的高度 $C E = 1.5 m$ ．求这个 $5 G$ 信号基站的高 $A B$ （精确到 $1 m$ ）．（参考数据： $\sin 52^{\circ} = 0.79 ， \cos 52^{\circ} = 0.62 ， \tan 52^{\circ} = 1.28$ ）

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23. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径，点 $C$ 是⊙ $O$ 上一点，过点 $C$ 的直线交 $A B$ 的延长线于点 $M$ ．作 $A D ⊥ M C$ ，垂足为点 $D$ ，已知 $A C$ 平分 $∠ M A D$ ．

(1)、求证： $M C$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $A B = B M$ ， $M C = 4$ ，求⊙ $O$ 的半径．

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24. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 恰好与其对角线 $A C$ 的中点 $O$ 重合，折痕与边 $B C$ 交于点 $E$ ．延长 $E O$ 交 $A D$ 于 $F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、根据题意补全图形；

(2)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(3)、若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则 $C E$ 的长为．

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25. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，连接AC。P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动；点Q沿折线D→A→C向终点C运动，在DA上的速度为每秒2个单位长度，在AC上的速度为每秒2 $\sqrt{2}$ 个单位长度。在运动过程中，以AP，AQ为邻边作平行四边形APMQ。设运动时间为x秒，平行四边形APMQ和正方形ABCD重叠部分的图形面积为y。

(1)、当点M在BC上时，x=

(2)、求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)、连接MB，当0°<∠MBP<90°时，直接写出tan∠MBP= $\frac{1}{2}$ 时x的值。

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26. 如图，函数 $y = {\begin{array}{l} k x + b (x \leq 0) ， \\ a x^{2} - 2 x - 2 (x > 0) \end{array}$ 的图象经过点 $A (0 ， 2)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $C (2 ， - 4)$ ．

(1)、求y关于x的函数解析式．

(2)、当 $y = 1$ 时，求x的值．

(3)、点P在函数y的图象上，其横坐标为m，将点P向右平移 $4$ 个单位得到点Q，连接 $P Q$ ，以 $P Q$ 为边向上作正方形 $P Q M N$ ．
①当点M在函数y的图象上时，直接写出m的取值范围．
②将函数y的图象在正方形 $P Q M N$ 内部（包括边界）的部分记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的和为L，直接写出 $| L | \leq 3$ 时m的取值范围．

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