沪科版七年级下册10.3平行线的判定及性质专题练习

试卷更新日期：2023-06-10 类型：同步测试

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一、解答题

1. 如图， $B D ⊥ A C$ 于 $D$ ， $E F ⊥ A C$ 于 $F$ ， $D M$ // $B C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证： $∠ A M D = ∠ A G F$ ．

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2. 看图填写．
已知：如图， $A C ⊥ B D$ ， $E F ⊥ B D$ ， $∠ A = ∠ 1$ ．求证： $E F$ 平分 $∠ B E D$ ．
证明：∵ $A C ⊥ B D$ ， $E F ⊥ B D$ ，
∴ $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ E F B = 90 °$ ．（  ）（填推理依据）
∴ $∠ A C B = ∠ E F B$ ．
∴ $E F ∥ A C$ ．（  ）（填推理依据）
∴ $∠ A = ∠ 2$ ．（  ）（填推理依据）
$∠ 3 = ∠ 1$ ．（  ）（填推理依据）
又∵ $∠ A = ∠ 1$ ， ∴ $∠ 2 = ∠ 3$ ．
∴ $E F$ 平分 $∠ B E D$ ．（  ）（填推理依据）

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3. 推理填空：
已知：如图 $∠ A = 120 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ D F E = ∠ C$ ，求证： $∠ A D G = ∠ D G F$ ．
证明：∵ $∠ A = 120 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ （已知），
∴ $∠ A + ∠ A B C = 180 °$ ，
∴  ▲   ，（   ）
又∵ $∠ D F E = ∠ C$ ，（已知）
∴  ▲   ，（   ）
∴  ▲   ，（    ）
∴ $∠ A D G = ∠ D G F$ ，（   ）

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4. 已知：如图， $∠ B A D$ 与 $∠ A D N$ 互补， $∠ B A E = ∠ C D F$ ，试说明 $∠ E = ∠ F$ ．
解：因为 $∠ B A D$ 与 $∠ A D N$ 互补
所以 $A B ∥ C D$ （  ）
所以 $∠ B A D = ∠ A D C$ （  ）
又因为 $∠ B A E = ∠ C D F$ （  ）
所以（等式性质）
即 $∠ E A D = ∠ A D F$
所以 $A E ∥ D F$ （  ）
所以 $∠ E = ∠ F$ （  ）

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5. 如图，已知 $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，求证： $∠ G D C = ∠ B$ ．
请完成下面的证明及理由填写．
证明：∵ $A D ⊥ B C$ （已知），
∴ $∠ A D B = 90 °$ （垂直的定义），
∵ $E F ⊥ B C$ （已知），
∴ $∠ E F B = 90 °$ （      ），
∴ $∠ A D B = ∠ E F B$ （等量代换）
∴ $A D ∥ E F$ （      ）．
∴ $∠ 2 + ∠ 1 = 180 °$ （      ）
又∵ $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ （已知），
∴ $∠ 1 =$       ▲      （      ）
∴ $A B ∥ D G$ （      ）
∴ $∠ G D C = ∠ B$ （      ）

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6. 阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点 $E$ 在直线 $D F$ 上，点 $B$ 在直线 $A C$ 上， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ．求证： $∠ A = ∠ F$ ．

证明：∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知）

$∠ 2 = ∠ D G F$ （     ）

∴ $∠ 1 = ∠ D G F$ （等量代换）

∴ $B D ∥ C E$ （     ）

∴ $∠ 3 + ∠$       ▲       $= 180 °$ （两直线平行，同旁内角互补）

又∵ $∠ 3 = ∠ 4$ （已知）

∴ $∠ 4 + ∠ C =$       ▲      （等量代换）

∴      ▲       $∥$       ▲      （     ）

∴ $∠ A = ∠ F$ （     ）

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7. 如图，直线 $B C$ 与 $A F$ 相交于点 $E$ ， $A B / / C D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，求证： $A D / / B E$ .
证明： $∵ A B / / C D ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ 4 = ∠ B A E$ （   ）
$∵ ∠ 3 = ∠ 4 ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ 3 =$       ▲      （   ）
$∵ ∠ 1 = ∠ 2 ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ 1 + ∠ C A F = ∠ 2 + ∠ C A F$ （   ）
即 $∠ B A E =$       ▲      .
$∴ ∠ 3 =$       ▲      （   ）
$∴ A D / / B E$ （   ）

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8. 推理填空：
如图， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $E G ⊥ B C$ 于 $G$ ， $∠ E = ∠ 1$ ，可得 $A D$ 平分 $∠ B A C$ .
理由如下： $∵ A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $E G ⊥ B C$ 于 $G$ ，（已知）
$∴ ∠ A D C = ∠ E G C = 90 °$ ，（垂直的定义）
$∴ A D ∥ E G$ ，（    ）
$∴ ∠ 1 = ∠$       ▲       ，（    ）
$∠ E = ∠ 3$ ，（    ）
又 $∵ ∠ E = ∠ 1$ ，（已知）
$∴ ∠ 3 = ∠$       ▲       ，（等量代换）
$∴ A D$ 平分 $∠ B A C .$ （角平分线的定义）

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9. 完成下面的证明：
已知：如图， $∠ A B E + ∠ B E C = 180 °$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ .

求证： $∠ F = ∠ G$ .

证明：∵ $∠ A B E + ∠ B E D = 180 °$ （已知），

∴  ▲  //  ▲  （    ）.

∴ $∠ A B E = ∠ B E D$ （   ）.

又∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），

∴ $∠ A B E - ∠ 1 = ∠ B E D - ∠ 2$ （    ）.

即 $∠ F B E = ∠ G E B$ .

∴  ▲  //  ▲  （    ）.

∴ $∠ F = ∠ G$ （两直线平行，内错角相等）.

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10. 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B.

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11. 已知：如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°．求证：DG $∥$ BC．

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12. 如图，在 $R t △ D E F$ 和 $R t △ A B C$ 中， $∠ D = ∠ A = 90 °$ ， $∠ E = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $A C$ 与 $D F$ 相交于点 $G$ ，若 $∠ F G C = 105 °$ ，请判断 $E F$ 与 $B C$ 是否平行？并说明理由．

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二、综合题

13. 如图，已知 $∠ B A C = 90 °$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $H$ ， $∠ A B D + ∠ C E D = 180 °$ ．

(1)、求证： $B D ∥ E C$ ；

(2)、连接 $B E$ ，若 $∠ B D E = 30 °$ ，且 $∠ D B E = ∠ A B E + 50 °$ ，求 $∠ A B E$ 的度数．

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14. 如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，

(1)、求证：BD $/ /$ CE；

(2)、若∠A＝30°，求∠F的度数．

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15. 如图，已知线段 $A B$ ，分别以点A，B为端点作射线 $A M ， B N$ ， C，D，E三点分别在 $A M ， A B ， B N$ 上，过点C的直线与线段 $D E ， A B$ 分别交于点F，H，已知 $∠ 1 = 110 °$ ， $∠ 2 = 70 °$ ．

(1)、判断 $C F$ 与 $B N$ 的位置关系并加以证明；

(2)、若 $C E ∥ A B$ ， $∠ B = 50 °$ ，求 $∠ 3$ 的度数．

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16. 如图，已知 $∠ 1 + ∠ B D E = 180 °$ ， $∠ 2 + ∠ 4 = 180 °$ ．

(1)、证明： $A D / / E F$ ；

(2)、若 $∠ 3 = 80 °$ ， $∠ 4 = 140 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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17. 如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP//AC交EF于点P.

(1)、若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数.

(2)、求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上， $E F ∥ A D$ ，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点E、F， $D G$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 于点G， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$

(1)、求证： $D G ∥ A B$ ；

(2)、若 $∠ B = 32 °$ ，求 $∠ A D B$ 的度数．

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19. 已知：直线 $A B ∥ C D$ ，点P在 $A B$ 的上方，且 $∠ A E P = 50 °$ ， $∠ P F C = 120 °$ .

(1)、如图，求 $∠ E P F$ 的度数；

(2)、如图，若 $∠ P E A$ 的平分线和 $∠ P F C$ 的平分线交于点G，求 $∠ G$ 的度数.

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20. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ，点E，G在直线AB上，点F，H在直线CD上，∠1＋∠2＝180°．

(1)、如图1，求证： $E F ∥ G H$ ；

(2)、如图2，若∠1＝120°，GM平分∠BGH，FM平分∠EFH，设FM与GH相交于点O．求∠FOH的度数．

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21. 综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且a $∥$ b，三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60° ∠BAC=30°．操作发现：

(1)、如图1，若∠1=42°，求∠2的度数；

(2)、小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．

(3)、小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2=4∠1，求∠1的度数．

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22. 丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．

(1)、如图1，已知AB $/ /$ CD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）

(2)、如图2，已知AB $/ /$ CD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数．

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23. 如图1，已知 $∠ E F H = 90 °$ ，点 $A$ ， $C$ 分别在射线 $F E$ 和 $F H$ 上，在 $∠ E F H$ 内部作射线 $A B$ ， $C D$ ，使 $A B$ 平行于 $C D$ ．

(1)、如图1，若 $F A B = 150 °$ ，求 $∠ H C D$ 的度数；

(2)、小颖发现，在 $∠ E F H$ 内部，无论 $F A B$ 如何变化， $∠ F A B - ∠ H C D$ 的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；

(3)、①如图3，把图1中的 $∠ E F H = 90 °$ 改为 $∠ E F H = 120 °$ ，其他条件不变，请直接写出 $∠ F A B$ 与 $∠ H C D$ 之间的数量关系；
②如图4，已知 $∠ E F G + ∠ F G C = α$ ，点 $A$ ， $C$ 分别在射线 $F E$ ， $G H$ 上，在 $∠ E F G$ 与 $∠ F G H$ 内部作射线 $A B$ ， $C D$ ，使 $A B$ 平行于 $C D$ ，请直接写出 $∠ F A B$ 与 $∠ H C D$ 之间的数量关系．

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24. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 与 $A B$ ， $C D$ 分别交于点 $G$ ， $H$ ， $∠ E H D = α (0 ° < α < 90 °)$ .小安将一个含 $30 °$ 角的直角三角板 $P M N$ 按如图①放置，使点 $N$ 、 $M$ 分别在直线 $A B$ 、 $C D$ 上，且在点 $C$ 、 $H$ 的右侧， $∠ P = 90 °$ ， $∠ P M N = 60 °$ .

(1)、填空； $∠ P N B + ∠ P M D$ $∠ P$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“=” ）；

(2)、若 $∠ M N G$ 的平分线 $N O$ 交直线 $C D$ 于点 $O$ ，如图②.
①当 $N O ∥ E F$ ， $P M ∥ E F$ 时，求 $α$ 的度数；

②小安将三角板 $P M N$ 沿直线 $A B$ 左右移动，保持 $P M / / E F$ ，点 $N$ 、 $M$ 分别在直线 $A B$ 和直线 $C D$ 上移动，请直接写出 $∠ M O N$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）.

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25. 如图，已知直线 $A B ∥ C D$ .

(1)、在图1中，点E在直线 $A B$ 上，点F在直线 $C D$ 上，点G在 $A B ， C D$ 之间，若 $∠ 1 = 28 °$ ， $∠ 3 = 73 °$ ，则 $∠ 2 =$ ；

(2)、如图2，若 $F N$ 平分 $∠ C F G$ ，延长 $G E$ 交 $F N$ 于点M，且 $∠ A E M ： ∠ M E N = 1 ： 2$ ，当 $\frac{1}{3} ∠ N + ∠ M G F = 50 °$ 时，求 $∠ C F G$ 的度数；

(3)、在（2）的条件下，若 $A E$ 绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时 $G F$ 绕F点以每秒转动1°的速度逆时针旋转，当 $A E$ 转动结束时 $G F$ 也随即停止转动，在整个转动过程中，当 $t =$ 秒时， $A E ∥ G F$ .

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