【高考真题】2023年上海高考数学卷

试卷更新日期：2023-06-09 类型：高考真卷

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一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)

1. 不等式 $| x - 2 | < 1$ 的解集为；

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2. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， 2)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ；

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 3 ， q = 2$ ，求 $s_{6} =$ ；

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4. 已知 $t a n α = 3$ ，求 $t a n 2 α =$ ；

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5. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x > 0 \\ 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的值域是；

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6. 已知当 $z = 1 + i$ ，则 $| 1 - i \cdot z | =$ ；

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7. 已知 $x^{2} + y^{2} - 4 y - m = 0$ 的面积为 $π$ ，求 $m =$ ；

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8. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4 ， b = 5 ， c = 6$ ，求 $s i n A =$ ；

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9. 国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为；

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10. 已知 ${(1 + 2023 x)}^{100} + {(2023 - x)}^{100} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{100} x^{100}$ ，其中 $a_{0} ， a_{1} ， a_{2} ⋯ a_{100} \in ℝ$ ，若 $0 \leq k \leq 100$ 且 $k \in ℕ$ ，当 $a_{k} < 0$ 时， $k$ 的最大值是；

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11. 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为 $θ$ ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为 $(1.025 - c o s θ)$ ，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 $θ =$ ；

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12. 空间内存在三点 $A 、 B 、 C$ ，满足 $A B = A C = B C = 1$ ，在空间内取不同两点(不计顺序)，使得这两点与 $A 、 B 、 C$ 可以组成正四棱锥，求方案数为；

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二、选择题（本题共有4题,满分18分,13-14题每题4分,15-16题每题5分）

13. 已知 $P = {1 ， 2} ， Q = {2 ， 3}$ ，若 $M = {x ∣ x \in P$ 且 $x \notin Q}$ ，则 $M =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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14. 根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（）.

A、身高越高，体重越重 B、身高越高，体重越轻 C、身高与体重成正相关 D、身高与体重成负相关

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15. 设 $a > 0$ ，函数 $y = s i n x$ 在区间 $[a ， 2 a]$ 上的最小值为 $s_{a}$ ，在 $[2 a ， 3 a]$ 上的最小值为 $t_{a}$ ，当 $a$ 变化时，以下不可能的情形是（）.

A、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} > 0$ B、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} < 0$ C、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} < 0$ D、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} > 0$

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16. 在平面上，若曲线 $Γ$ 具有如下性质：存在点 $M$ ，使得对于任意点 $P \in Γ$ ，都有 $Q \in Γ$ 使得 $| P M | \cdot | Q M | = 1$ .则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（）.

(1)、所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.

A、(1)假命题；(2)真命题 B、(1)真命题；(2)假命题 C、(1)真命题；(2)真命题 D、(1)假命题；(2)假命题

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三、解答题(本大题共有5题,满分78分)

17. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， A B ∥ D C ， A B ⊥ A D ， A B = 2 ， A D = 3 ， D C = 4$ .

(1)、求证： $A_{1} B ∥$ 面 $D C C_{1} D_{1}$ ；

(2)、若直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为36，求二面角 $A_{1} - B D - A$ 的大小.

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18. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + (3 a + 1) x + c}{x + a} (a ， c \in R)$

(1)、当 $a = 0$ 是，是否存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 3)$ ，且 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴负半轴有两个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3

(1)、若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到模型有棕色内饰.
求 $P (B) 、 P (B / A)$ ，并据此判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立；

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望

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20. 已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ ， A为第一象限内 $Γ$ 上的一点，设点 $A$ 的纵坐标是 $a (a > 0)$ .

(1)、若 $A$ 到抛物线 $Γ$ 的准线的距离为3，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 4 ，$ B为 $x$ 轴上一点，且线段 $A B$ 的中点在 $Γ$ 上，求点 $B$ 坐标及原点O到直线 $A B$ 的距离；

(3)、设直线 $l ： x = - 3$ ， $P$ 是第一象限 $Γ$ 上异于 $A$ 的一点，直线 $P A$ 交 $l$ 于 $Q ，$ 点H是 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 $A$ 满足“对任意点 $P$ 都有 $| H Q | > 4$ "，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知 $f (x) = l n x$ ，取点 $(a_{1} f (a_{1}))$ 过其曲线 $y = f (x)$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0 ， a_{2})$ ，取点 $(a_{2} f (a_{2}))$ 过其曲线 $y = f (x)$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0 ， a_{3})$ ，若 $a_{3} > 0$ 则继续，若 $a_{3} \leq 0$ 则停止，以此类推得到数列 ${a_{n}}$ .

(1)、若正整数 $m \geq 2$ ，证明 $a_{m} = l n a_{m - 1} - 1$ ；

(2)、若正整数 $m \geq 2$ ，试比较 $a_{m}$ 与 $a_{m - 1} - 2$ 大小；

(3)、若正整数 $k \geq 3$ ，是否存在 $k$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ⋯ a_{k}$ 依次成等差数列?若存在，求出 $k$ 的所有取值，若不存在，请说明理由.

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3