【高考真题】2023年新高考Ⅱ卷数学

试卷更新日期：2023-06-08 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内， $(1 + 3 i) (3 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {0 ， - a} ， B = {1 ， a - 2 ， 2 a - 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、-1

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3. 某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同抽样结果共有（）.

A、 $C_{400}^{45} \cdot C_{200}^{15}$ 种 B、 $C_{400}^{20} \cdot C_{200}^{40}$ 种 C、 $C_{400}^{30} \cdot C_{200}^{30}$ 种 D、 $C_{400}^{40} \cdot C_{200}^{20}$ 种

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4. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则a=（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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5. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线y=x+m与C交于点A，B两点，若 $△ F_{1} A B$ 面积是 $△ F_{2} A B$ 的 2 倍，则m=（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6. 已知函数f(x)= $a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1 ， 2)$ 单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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7. 已知 $α$ 为锐角， $c o s α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ，$ 则 $s i n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

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8. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{4} = - 5 ， S_{6} = 21 S_{2} ，$ 则 $S_{8} =$ （）

A、120 B、85 C、-85 D、 $-$ 120

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O$ ， $A ， B$ 为底面直径， $∠ A P B = 120 °$ ， $P A = 2$ ，点 $C$ 在底面圆周上，且二面角 $P - A C - O$ 为45°，则（）

A、该圆锥的体积为 $π$ B、该圆锥的侧面积为 $4 \sqrt{3} π$ C、 $A C = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ P A C$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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10. 设O为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p ＞ 0 ）$ 的焦点，且与C交于M，N两点， $l$ 为C的准线，则（）

A、 $p = 2$ B、 $| M N | = \frac{8}{3}$ C、以MN为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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11. 若f(x)=alnx+ $\frac{b}{x}$ + $\frac{c}{x^{2}}$ (a≠0)既有极大值也有极小值，则（）

A、bc>0 B、ab>0 C、 $b^{2} + 8 a c > 0$ D、ac<0

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12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 $(1 - α) (1 - β)^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到 1，0，1的概率为 $β (1 - β)^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β (1 - β)^{2} (1 - β)^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} | ，则 | \vec{b} | =$

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14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 .

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15. 已知直线 $x - m y + 1 = 0$ 与⊙C： $（ x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $\frac{8}{5}$ ”的 $m$ 的一个值

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16. 已知函数 $f （ x ） = s i n （ ω x + φ ）$ ，如图A，B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f （ x ）$ 的两个交点，若 $| A B | = \frac{π}{6}$ ，则 $f （π） =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 $\sqrt{3} ，$ D为BC的中点，且AD=1.

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3} ，$ 求tanB；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 8$ ，求b，c.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $b_{n} = {\begin{cases} a_{n} - 6 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{cases}$ ，记 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 为 ${a_{n}}$ ${b_{n}}$ 的前n项和， $S_{4} = 32$ ， $T_{3} = 16$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、证明：当n>5时， $T_{n}$ > $S_{n}$ .

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19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳形，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p (c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q (c)$ .假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)、当漏诊率 $P (c) = 0.5 %$ 时，求临近值c和误诊率 $q (c)$ ；

(2)、设函数 $f (c) = p (c) + q (c)$ ，当 $c \in [95 ， 105]$ 时，求 $f (c)$ 的解析式，并求 $f (c)$ 在区间 $[95 ， 105]$ 的最小值.

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20. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A = D B = D C ， B D ⊥ C D ， ∠ A D B = ∠ A D C =$ 60°，E为BC中点.

(1)、证明： $B C ⊥ D A$

(2)、点F满足 $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，求二面角D-AB-F的正弦值.

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21. 已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(- 2 \sqrt{5} ， 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过点 $(- 4 ， 0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M$ ， $N$ 两点， $M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于 $P$ ，证明：点 $P$ 在定直线上.

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22.

(1)、证明：当 $0 < x < 1$ 时， $x - x^{2} < s i n x < x$

(2)、已知函数 $f (x) = c o s a x - l n (1 - x^{2}) ，$ 若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求a的取值范围.

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