【高考真题】2023年新高考Ⅰ卷数学

试卷更新日期：2023-06-08 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知集合M={−2，−1，0，1，2}，N={x|x²−x−6⩾0}，则M∩N=（）

A、{−2，−1，0，1} B、{0，1，2} C、{−2} D、{2}

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2. 已知 $z = \frac{1 - i}{2 + 2 i}$ ，则 $z - \bar{z}$ =（）

A、−i B、i C、0 D、1

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3. 已知向量a=(1，1)，b=(1，−1).若(a+λb)⊥(a+µb)，则（）

A、λ+µ=1 B、λ+µ=−1 C、λµ=1 D、λµ=−1

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4. 设函数 $f (x) = 2^{x (x - a)}$ 在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（）

A、(−∞，−2] B、[−2，0) C、(0，2] D、[2，+∞)

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5. 设椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1) ， C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ .若 $e_{2} = \sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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6. 过点(0，−2)与圆x²+y²−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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7. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，设甲：{a_n}为等差数列；乙： ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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8. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. 有一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{6}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值， $x_{6}$ 是最大值，则（）

A、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 的平均数等于 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{6}$ 的平均数 B、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 的中位数等于 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{6}$ 的中位数 C、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 的标准差不小于 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{6}$ 的标准差 D、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 的极差不大于 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{6}$ 的极差

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10. 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L_{p} =

20 \times l g \frac{p}{p_{0}}

，其中常数

p_{0} (p_{0} > 0)

是听觉下限间值，

p

是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离/m	声压级/dB
燃油汽车	10	60~90
混合动力汽车	10	50～60
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10 m$ 处测得实际声压分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，则（）

A、

p_{1} ⩾ p_{2}

B、

p_{2} > 10 p_{3}

C、

p_{3} = 100 p_{0}

D、

p_{1} ⩽ 100 p_{2}

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11. 已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则（）

A、f(0)=0 B、f(1)=0 C、f(x)是偶函数 D、x=0为f(x)的极小值点

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12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有（）

A、直径为0.99m的球体 B、所有棱长均为1.4m的四面体 C、底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D、底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).

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14. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A_{1} B_{1} = 1 ， A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为.

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15. 已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ . 点 $A$ 在 $C$ 上. 点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B} ， \vec{F_{2} A} = - \frac{2}{3} \vec{F_{2} B}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. 已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.

(1)、求sinA；

(2)、设AB=5，求AB边上的高.

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18. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A A_{1} = 4$ . 点 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2} ， D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1} ， D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2 ， C C_{2} = 3$ .

(1)、证明： $B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $15 0^{°}$ 时，求 $B_{2} P$ .

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19. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ，令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n} ， T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若 $3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3} ， S_{3} + T_{3} = 21$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $S_{99} - T_{99} = 99$ ，求 $d$ .

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21. 甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.

(1)、求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)、求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i} ， i =$ $1 ， 2 ， ⋯ ， n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ，记前 $n$ 次 (即从第1次到第 $n$ 次投篮)中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ .

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22. 在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0， $\frac{1}{2}$ )的距离，记动点P的轨迹为W.

(1)、求W的方程；

(2)、已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于 $3 \sqrt{3}$ .

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