广东省广州市增城区2023年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2023-06-08 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. 如图所示的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若分式 $\frac{1}{x - 4}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = 4$ B、 $x > 4$ C、 $x < 4$ D、 $x \neq 4$

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3. 点 $(5 ， 7)$ 关于原点对称的点为（）

A、 $(5 ， 7)$ B、 $(- 5 ， 7)$ C、 $(- 5 ， - 7)$ D、 $(5 ， - 7)$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $(2 a)^{3} = 6 a^{3}$ C、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $O C = 5$ ， $C D = 8$ ，则 $O E =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $c o s A = \frac{3}{5}$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. $《$ 九章算术 $》$ 是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天 $.$ 已知快马速度是慢马速度的2倍，求慢马的速度 $.$ 设慢马的速度为 $x$ 里 $/$ 天，则可列方程为(

A、 $\frac{900}{x} = \frac{900}{2 x} + 4$ B、 $\frac{900}{x} = \frac{900}{2 x} - 4$ C、 $\frac{900}{2 x} - \frac{900}{x} = 4$ D、 $\frac{900}{2 x} + \frac{900}{x} = 4$

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8. 如图，点 $A$ 是函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴， $A C ⊥ y$ 轴，分别与函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象相交于点 $B$ 和点 $C$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、6 D、 $\frac{13}{2}$

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9. 如图，点 $D$ ， $E$ 都是 $△ A B C$ 边上的点， $D E / / A C$ ， $A E$ 交 $D C$ 于点 $F$ ，若 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ A C F}} = \frac{1}{9}$ ，则 $B E$ ： $B C$ 的值是（）

A、1：5 B、1：4 C、1：3 D、1：2

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10. 如图，平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C (6 ， 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A$ 、 $B$ ，顶点为 $P$ ，抛物线 $y = e x^{2} + f x + g$ 过点 $A$ ， $C$ ，顶点为 $Q$ ，若点 $P$ 在线段 $A Q$ 上，则 $a$ ： $e$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算 $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ =.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 13$ ，将 $△ A B C$ 沿着射线 $B C$ 平移 $m$ 个单位长度，得到 $△ D E F$ ，若 $E C = 7$ ，则 $m =$ ．

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13. 如表记录了甲、乙、丙三名学生这学期的射击成绩的平均数和方差：

	甲	乙	丙
平均数	9.23	9.3	9.3
方差	0.23	0.017	0.057

根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择．

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14. 抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 1$ 的对称轴是直线．

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15. 如图，直线 $y = - 2 x + 2$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，射线 $A P ⊥ A B$ 于点 $A$ ，若点 $C$ 是射线 $A P$ 上的一个动点，点 $D$ 是 $x$ 轴上的一个动点，且以 $C$ ， $D$ ， $A$ 为顶点的三角形与 $△ A O B$ 全等，则 $A D$ 的长为．

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $M$ 为对角线 $B D ($ 不含点 $B)$ 上任意一点，则 $A M + \frac{1}{2} B M$ 的最小值为．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。）

17. 解方程： ${\begin{array}{l} x + y = 7 \\ 4 x - y = 3 \end{array}$ ．

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18. 如图， $∠ A B C = ∠ D C B$ ， $A B = D C$ ， $A C = 5$ ，求 $B D$ 的长．

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19. 已知 $P = \frac{2 a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b} (a \neq \pm b)$ ．

(1)、化简 $P$ ；

(2)、若点 $(a ， b)$ 在一次函数 $y = x - 2$ 的图象上，求 $P$ 的值．

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20. 新课标（2022年版 $)$ 要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习” $.$ 我区九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了 $m$ 名学生的测试成绩，按照“优”“良”“中”“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习、项目式学习”汇报，用树状图或列表法求出甲同学被抽到的概率．

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21. 如图，矩形 $O A B C$ 中，点 $E$ 是对角线 $O B$ 的中点， $O A = 4$ ， $O C = 2$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $E$ ，与边 $B C$ 交于点 $D$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求 $△ O D E$ 的面积．

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22. 随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径 $.$ 某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读市场规模为576万元．

(1)、求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；

(2)、若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元？

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23. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ B = 30 °$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A C$ 交 $A B$ 于点 $D$ ．

(1)、尺规作图：作 $A D$ 的垂直平分线，交 $A D$ 于点 $O$ ，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O ($ 保留痕迹，不要求写作法 $)$ ；

(2)、在（1）所作的图形中，
$①$ 求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

$②$ 若 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ，问线段 $B C$ 上是否存在一点 $P$ ，使得以 $P$ ， $D$ ， $B$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似？若存在，求出 $D P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a . (a$ 为常数， $a \neq 0)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求抛物线的顶点坐标；

(2)、当 $a > 0$ 时，设抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 左侧 $)$ ，顶点为 $C$ ，若 $△ A B C$ 为等边三角形，求 $a$ 的值；

(3)、过 $T (0 ， t) ($ 其中 $- 1 \leq t \leq 2$ 且垂直 $y$ 轴的直线 $l$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点 $.$ 若对于满足条件的任意 $t$ 值，线段 $M N$ 的长都不小于1，求 $a$ 的取值范围．

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25. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，且 $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ．

(1)、如图1，若 $B E = 2$ ， $D F = 3$ ，求 $E F$ 的长度；

(2)、如图2，连接 $B D$ ， $B D$ 与 $A F$ 、 $A E$ 分别相交于点 $M$ 、 $N$ ，若正方形 $A B C D$ 的边长为6， $B E = 2$ ，求 $D F$ 的长；

(3)、判断线段 $B N$ 、 $M N$ 、 $D M$ 三者之间的数量关系并证明你的结论．

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